19. Physique quantique relativiste
855
Comme dans le cas des spineurs à deux composantes, le renversement du sens
du temps multiplie les spineurs par un facteur iσ 2 , et comme dans le cas
non-relativiste, Θ
2 = −1.
19.5 Quantification du champ de Dirac
19.5.1 Ondes planes
Notre objectif est de généraliser au champ de Dirac la théorie nonrelativiste de la section 14.3. Nous anticipons le fait que les particules de
Dirac sont des fermions, ce qu’affirme le théorème spin-statistique. Toutefois,
nous serons capables d’en dire plus : en effet, nous avions jusqu’à présent
énoncé ce théorème sans démonstration, nous allons maintenant le prouver,
du moins dans le cas particulier des particules de Dirac sans interactions.
Nous reprenons la procédure suivie précédemment pour le champ électromagnétique et les champs de bosons et de fermions non-relativistes en
considérant au départ l’équation de Dirac comme une équation d’onde pour
un champ classique. Il sera commode d’étudier en premier lieu les solutions
de type onde plane de cette équation. Nous avons vu que le spineur de Dirac
ψ(x) qui, rappelons-le, est ici un champ classique, obéit à l’équation de KleinGordon (∂
2 + m
2 )ψ =0 . Les solutions de l’équation de Dirac peuvent donc
s’écrire comme des superpositions linéaires d’ondes planes de la forme
ψ n (x)=w n ( p)e
−iεnp·x
p · x = E p t −
p · xE p =
p 2 + m 2 > 0
(19.173)
avec ε n = ±1.L ec a sε n =+ 1est celui des solutions d’énergie positive et
ε n = −1 celui des solutions d’énergie négative. En substituant (19.173) dans
l’équation de Dirac, on obtient
(p / − m)w n ( p)=0
ε n =+1
(p / + m)w n ( p)=0
ε n = −1
(19.174)
Si p =0 ,a l o r sp / = mγ
0 et on trouve dans la représentation de Dirac quatre
solutions linéairement indépendantes
w 1 =ˆ u
(1) ( 0) =
⎛
⎜
⎜
⎝
1
0
0
0
⎞
⎟
⎟
⎠
w 2 =ˆ u
(2) ( 0) =
⎛
⎜
⎜
⎝
0
1
0
0
⎞
⎟
⎟
⎠
w 3 =ˆ v
(1) ( 0) =
⎛
⎜
⎜
⎝
0
0
1
0
⎞
⎟
⎟
⎠
w 4 =ˆ v
(2) ( 0) =
⎛
⎜
⎜
⎝
0
0
0
1
⎞
⎟
⎟
⎠
(19.175)
855
Comme dans le cas des spineurs à deux composantes, le renversement du sens
du temps multiplie les spineurs par un facteur iσ 2 , et comme dans le cas
non-relativiste, Θ
2 = −1.
19.5 Quantification du champ de Dirac
19.5.1 Ondes planes
Notre objectif est de généraliser au champ de Dirac la théorie nonrelativiste de la section 14.3. Nous anticipons le fait que les particules de
Dirac sont des fermions, ce qu’affirme le théorème spin-statistique. Toutefois,
nous serons capables d’en dire plus : en effet, nous avions jusqu’à présent
énoncé ce théorème sans démonstration, nous allons maintenant le prouver,
du moins dans le cas particulier des particules de Dirac sans interactions.
Nous reprenons la procédure suivie précédemment pour le champ électromagnétique et les champs de bosons et de fermions non-relativistes en
considérant au départ l’équation de Dirac comme une équation d’onde pour
un champ classique. Il sera commode d’étudier en premier lieu les solutions
de type onde plane de cette équation. Nous avons vu que le spineur de Dirac
ψ(x) qui, rappelons-le, est ici un champ classique, obéit à l’équation de KleinGordon (∂
2 + m
2 )ψ =0 . Les solutions de l’équation de Dirac peuvent donc
s’écrire comme des superpositions linéaires d’ondes planes de la forme
ψ n (x)=w n ( p)e
−iεnp·x
p · x = E p t −
p · xE p =
p 2 + m 2 > 0
(19.173)
avec ε n = ±1.L ec a sε n =+ 1est celui des solutions d’énergie positive et
ε n = −1 celui des solutions d’énergie négative. En substituant (19.173) dans
l’équation de Dirac, on obtient
(p / − m)w n ( p)=0
ε n =+1
(p / + m)w n ( p)=0
ε n = −1
(19.174)
Si p =0 ,a l o r sp / = mγ
0 et on trouve dans la représentation de Dirac quatre
solutions linéairement indépendantes
w 1 =ˆ u
(1) ( 0) =
⎛
⎜
⎜
⎝
1
0
0
0
⎞
⎟
⎟
⎠
w 2 =ˆ u
(2) ( 0) =
⎛
⎜
⎜
⎝
0
1
0
0
⎞
⎟
⎟
⎠
w 3 =ˆ v
(1) ( 0) =
⎛
⎜
⎜
⎝
0
0
1
0
⎞
⎟
⎟
⎠
w 4 =ˆ v
(2) ( 0) =
⎛
⎜
⎜
⎝
0
0
0
1
⎞
⎟
⎟
⎠
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