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Physique quantique : Exercices et applications
Cette équation est celle d’un spineur de Majorana. En prenant le complexe
conjugué de cette équation et en multipliant par γ
2 , on vérifie immédiatement
que ∂
2 ψ = −m
2 ψ,cequimontrequem est bien la masse de la particule décrite
par ψ. Comme ψ et ψ c portent des charges opposées, l’équation de Majorana
(19.169) ne peut s’appliquer qu’à des particules électriquement neutres, et plus
généralement à des particules qui sont leurs propres antiparticules. De plus,
comme ψ et ψ c ont des chiralités opposées et que ∂ /ψ a une chiralité opposée à
celle de ψ, on constate que contrairement à l’équation de Dirac, l’équation de
Majorana préserve la chiralité : tous les termes ont la même chiralité. Lorsque
la masse est nulle, les équations de Dirac et de Majorana coïncident. Si m =0,
ce qui est le cas des neutrinos, on pourrait avoir soit des neutrinos de Dirac,
soit des neutrinos de Majorana. La question reste aujourd’hui ouverte.
19.4.4 Inversion du temps
Dans l’annexe A2, nous avons montré que l’opérateur Θ qui effectue le renversement du sens du temps s’écrit comme le produit Θ=UK d’un opérateur
unitaire U et de l’opérateur K de conjugaison complexe. Nous avons vu que
U = ησ 2 pour un spin 1/2, où η est un facteur de phase, et nous avons observé
que Θ
2 = −1, un résultat à l’origine de la dégénérescence de Kramers. Afin
de faire le lien avec l’annexe A2, il est commode d’écrire l’équation de Dirac
(19.102) sous une forme qui mette en évidence le hamiltonien. Multiplions
(19.102) à gauche par γ
0 , ce qui donne
i
∂ψ(t)
∂t
= Hψ(t)
H = −iγ
0 γ
i ∂ i + γ
0 m
(19.170)
Posant t
′ = −t et ψ
′ (t
′ )=Θψ(t), nous voulons assurer l’invariance du hamiltonien
Θ
−1 HΘ=H =⇒ KU
−1 HUK = H
Ceci implique
KU
−1 γ
0 UK = γ
0 et KU
−1 (iγ
0 γ
i )UK = iγ
0 γ
i
On en déduit les conditions sur U
U
−1 γ
0 U =(γ
0 )
∗
U
−1 γ
i U = −(γ
i )
∗
Dans la base de Dirac comme dans la base chirale, γ
2 est la seule matrice
imaginaire, et on peut donc choisir dans les deux bases U = ηγ
1 γ
3 ,d es o r t e
que
ψ
′ (t
′ )=ηγ
1 γ
3 Kψ(t)
(19.171)
Dans les deux bases, γ
1 γ
3 al am ê m ee x p r e s s i o n
γ
1 γ
3 = i
σ 2 0
0 σ 2
(19.172)
Physique quantique : Exercices et applications
Cette équation est celle d’un spineur de Majorana. En prenant le complexe
conjugué de cette équation et en multipliant par γ
2 , on vérifie immédiatement
que ∂
2 ψ = −m
2 ψ,cequimontrequem est bien la masse de la particule décrite
par ψ. Comme ψ et ψ c portent des charges opposées, l’équation de Majorana
(19.169) ne peut s’appliquer qu’à des particules électriquement neutres, et plus
généralement à des particules qui sont leurs propres antiparticules. De plus,
comme ψ et ψ c ont des chiralités opposées et que ∂ /ψ a une chiralité opposée à
celle de ψ, on constate que contrairement à l’équation de Dirac, l’équation de
Majorana préserve la chiralité : tous les termes ont la même chiralité. Lorsque
la masse est nulle, les équations de Dirac et de Majorana coïncident. Si m =0,
ce qui est le cas des neutrinos, on pourrait avoir soit des neutrinos de Dirac,
soit des neutrinos de Majorana. La question reste aujourd’hui ouverte.
19.4.4 Inversion du temps
Dans l’annexe A2, nous avons montré que l’opérateur Θ qui effectue le renversement du sens du temps s’écrit comme le produit Θ=UK d’un opérateur
unitaire U et de l’opérateur K de conjugaison complexe. Nous avons vu que
U = ησ 2 pour un spin 1/2, où η est un facteur de phase, et nous avons observé
que Θ
2 = −1, un résultat à l’origine de la dégénérescence de Kramers. Afin
de faire le lien avec l’annexe A2, il est commode d’écrire l’équation de Dirac
(19.102) sous une forme qui mette en évidence le hamiltonien. Multiplions
(19.102) à gauche par γ
0 , ce qui donne
i
∂ψ(t)
∂t
= Hψ(t)
H = −iγ
0 γ
i ∂ i + γ
0 m
(19.170)
Posant t
′ = −t et ψ
′ (t
′ )=Θψ(t), nous voulons assurer l’invariance du hamiltonien
Θ
−1 HΘ=H =⇒ KU
−1 HUK = H
Ceci implique
KU
−1 γ
0 UK = γ
0 et KU
−1 (iγ
0 γ
i )UK = iγ
0 γ
i
On en déduit les conditions sur U
U
−1 γ
0 U =(γ
0 )
∗
U
−1 γ
i U = −(γ
i )
∗
Dans la base de Dirac comme dans la base chirale, γ
2 est la seule matrice
imaginaire, et on peut donc choisir dans les deux bases U = ηγ
1 γ
3 ,d es o r t e
que
ψ
′ (t
′ )=ηγ
1 γ
3 Kψ(t)
(19.171)
Dans les deux bases, γ
1 γ
3 al am ê m ee x p r e s s i o n
γ
1 γ
3 = i
σ 2 0
0 σ 2
(19.172)