19. Physique quantique relativiste
853
19.4.3 Conjugaison de charge
Nous avons établi au § 19.3.3 la forme du couplage d’une particule de Dirac
de charge q à un champ électromagnétique A µ . Prenant le complexe conjugué
de (19.116), nous obtenons
[γ
µ∗ (i∂ µ + qA µ )+m] ψ
∗ =0
Les matrices −γ
µ∗ obéissent à l’algèbre de Dirac (19.103) et il doit donc exister
une matrice Cγ
0 (le facteur γ
0 est conventionnel) telle que
−γ
µ∗ =(Cγ
0 )
−1 γ
µ (Cγ
0 )
Définissant le spineur conjugué de charge ψ c par
ψ c = Cγ
0 ψ
∗
(19.165)
nous obtenons pour ψ c l’équation
[γ
µ (i∂ µ + qA µ ) − m] ψ c =0
(19.166)
Cette équation montre que ψ c décrit une particule de Dirac de masse m et de
charge −q.Siψ décrit un électron, alors ψ c décrit un positron : une prédiction
spectaculaire de l’équation de Dirac est l’existence d’antiparticules, de même
masse que la particule et de charge opposée. Il reste à déterminer explicitement
la matrice C. Il est commode de manipuler la définition précédente de Cγ
0
en utilisant l’expression ci-dessus de γ
µ∗ et la relation γ
µ† = γ
0 γ
µ γ
0 pour en
déduire le transposé de γ
µ , γ
µT
γ
µT = −C
−1 γ
µ C
(19.167)
Aussi bien dans la base de Dirac (19.104) que dans la base chirale (19.100), la
seule matrice γ
i qui ne change pas de signe par transposition est γ
2 : γ
2 T = γ
2 ,
en raison de σ
T
2 = −σ 2 . À un facteur de phase près que nous pouvons choisir
égal à un, nous avons C = C
−1 = γ
2 γ
0 de sorte qu’en fin de compte la relation
entre ψ et ψ c est
ψ c = γ
2 ψ
∗
(19.168)
Il est facile de se convaincre que le conjugué de charge d’un spineur de chiralité
droite est un spineur de chiralité gauche et vice versa : en effet, compte tenu de
ce que γ 5 est une matrice réelle, si ψ est un vecteur propre de γ 5 , γ 5 ψ = ±ψ,
alors
γ 5 ψ c = γ 5 γ
2 ψ
∗ = −γ 2 (γ 5 ψ)
∗ = −γ
2 (±ψ)
∗ = ∓ψ c
Il est également immédiat de montrer que ψ c se transforme par une transformation de Lorentz comme un spineur de Dirac. On en déduit qu’une équation
compatible avec l’invariance de Lorentz est
(iγ
µ ∂ µ )ψ = mψ c
(19.169)
853
19.4.3 Conjugaison de charge
Nous avons établi au § 19.3.3 la forme du couplage d’une particule de Dirac
de charge q à un champ électromagnétique A µ . Prenant le complexe conjugué
de (19.116), nous obtenons
[γ
µ∗ (i∂ µ + qA µ )+m] ψ
∗ =0
Les matrices −γ
µ∗ obéissent à l’algèbre de Dirac (19.103) et il doit donc exister
une matrice Cγ
0 (le facteur γ
0 est conventionnel) telle que
−γ
µ∗ =(Cγ
0 )
−1 γ
µ (Cγ
0 )
Définissant le spineur conjugué de charge ψ c par
ψ c = Cγ
0 ψ
∗
(19.165)
nous obtenons pour ψ c l’équation
[γ
µ (i∂ µ + qA µ ) − m] ψ c =0
(19.166)
Cette équation montre que ψ c décrit une particule de Dirac de masse m et de
charge −q.Siψ décrit un électron, alors ψ c décrit un positron : une prédiction
spectaculaire de l’équation de Dirac est l’existence d’antiparticules, de même
masse que la particule et de charge opposée. Il reste à déterminer explicitement
la matrice C. Il est commode de manipuler la définition précédente de Cγ
0
en utilisant l’expression ci-dessus de γ
µ∗ et la relation γ
µ† = γ
0 γ
µ γ
0 pour en
déduire le transposé de γ
µ , γ
µT
γ
µT = −C
−1 γ
µ C
(19.167)
Aussi bien dans la base de Dirac (19.104) que dans la base chirale (19.100), la
seule matrice γ
i qui ne change pas de signe par transposition est γ
2 : γ
2 T = γ
2 ,
en raison de σ
T
2 = −σ 2 . À un facteur de phase près que nous pouvons choisir
égal à un, nous avons C = C
−1 = γ
2 γ
0 de sorte qu’en fin de compte la relation
entre ψ et ψ c est
ψ c = γ
2 ψ
∗
(19.168)
Il est facile de se convaincre que le conjugué de charge d’un spineur de chiralité
droite est un spineur de chiralité gauche et vice versa : en effet, compte tenu de
ce que γ 5 est une matrice réelle, si ψ est un vecteur propre de γ 5 , γ 5 ψ = ±ψ,
alors
γ 5 ψ c = γ 5 γ
2 ψ
∗ = −γ 2 (γ 5 ψ)
∗ = −γ
2 (±ψ)
∗ = ∓ψ c
Il est également immédiat de montrer que ψ c se transforme par une transformation de Lorentz comme un spineur de Dirac. On en déduit qu’une équation
compatible avec l’invariance de Lorentz est
(iγ
µ ∂ µ )ψ = mψ c
(19.169)