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Physique quantique : Exercices et applications
elle sera représentée dans l’espace des spineurs de Dirac par la matrice 4 × 4
S(Λ) = exp
−
i
2
ω µν σ
µν
(19.162)
Examinons maintenant la loi de transformation d’un spineur de Dirac ψ(x),
en rappelant qu’une transformation de Lorentz agit sur un champ scalaire
ϕ(x) suivant la loi
ϕ
′ (x
′ )=ϕ
′ (Λx)=ϕ(x)
Une transformation de Lorentz Λ agissant sur un spineur de Dirac ψ(x) sera
de la forme
ψ
′ (x
′ )=S(Λ)ψ(x)
x
′ µ =Λ
µ
ν x
ν
(19.163)
Le spineur ψ
′ (x
′ ) obéit à l’équation
(i∂ /
′ − m)ψ
′ (x
′ )=0
∂
′
µ =(Λ
−1 )
ν
µ ∂ ν
Les détails de la démonstration sont renvoyés à l’exercice 19.6.10.
19.4.2 Parité
Nous serons brefs sur ce sujet que nous avons déjà examiné. L’opération
parité change le signe des composantes d’espace d’un quadrivecteur
x
µ → x
′ µ =(x
0 , − x)
Utilisant la remarque qui suit l’équation (19.102), nous observons que le spineur de Dirac ψ
′ (x
′ ) défini par
ψ
′ (x
′ )=ηγ
0 ψ(x)
(19.164)
où η est un facteur de phase sans importance physique, obéit à l’équation de
Dirac
(iγ
µ ∂
′
µ − m)ψ
′ (x
′ )=0
∂
′
µ = ∂/∂x
′ µ =(∂ t , −
∇)
On déduit de ce qui précède les lois de transformation des bilinéaires de Dirac
par transformation de Lorentz et parité
Scalaire : ψψ (1)
Vecteur : ψγ
µ ψ (4)
Tenseur antisym´ etrique : ψσ
µν ψ (6)
Pseudovecteur : ψγ 5 γ
µ ψ (4)
Pseudoscalaire : ψγ 5 ψ (1)
Le chiffre entre parenthèses indique le nombre de composantes indépendantes.
La liste ci-dessus est exhaustive : comme les matrices de Dirac sont des matrices 4 × 4, il existe au plus 16 bilinéaires indépendants.
Physique quantique : Exercices et applications
elle sera représentée dans l’espace des spineurs de Dirac par la matrice 4 × 4
S(Λ) = exp
−
i
2
ω µν σ
µν
(19.162)
Examinons maintenant la loi de transformation d’un spineur de Dirac ψ(x),
en rappelant qu’une transformation de Lorentz agit sur un champ scalaire
ϕ(x) suivant la loi
ϕ
′ (x
′ )=ϕ
′ (Λx)=ϕ(x)
Une transformation de Lorentz Λ agissant sur un spineur de Dirac ψ(x) sera
de la forme
ψ
′ (x
′ )=S(Λ)ψ(x)
x
′ µ =Λ
µ
ν x
ν
(19.163)
Le spineur ψ
′ (x
′ ) obéit à l’équation
(i∂ /
′ − m)ψ
′ (x
′ )=0
∂
′
µ =(Λ
−1 )
ν
µ ∂ ν
Les détails de la démonstration sont renvoyés à l’exercice 19.6.10.
19.4.2 Parité
Nous serons brefs sur ce sujet que nous avons déjà examiné. L’opération
parité change le signe des composantes d’espace d’un quadrivecteur
x
µ → x
′ µ =(x
0 , − x)
Utilisant la remarque qui suit l’équation (19.102), nous observons que le spineur de Dirac ψ
′ (x
′ ) défini par
ψ
′ (x
′ )=ηγ
0 ψ(x)
(19.164)
où η est un facteur de phase sans importance physique, obéit à l’équation de
Dirac
(iγ
µ ∂
′
µ − m)ψ
′ (x
′ )=0
∂
′
µ = ∂/∂x
′ µ =(∂ t , −
∇)
On déduit de ce qui précède les lois de transformation des bilinéaires de Dirac
par transformation de Lorentz et parité
Scalaire : ψψ (1)
Vecteur : ψγ
µ ψ (4)
Tenseur antisym´ etrique : ψσ
µν ψ (6)
Pseudovecteur : ψγ 5 γ
µ ψ (4)
Pseudoscalaire : ψγ 5 ψ (1)
Le chiffre entre parenthèses indique le nombre de composantes indépendantes.
La liste ci-dessus est exhaustive : comme les matrices de Dirac sont des matrices 4 × 4, il existe au plus 16 bilinéaires indépendants.