19. Physique quantique relativiste
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19.4 Symétries de l’équation de Dirac
19.4.1 Invariance de Lorentz
Étant donné que l’invariance de Lorentz nous a servi de guide pour
construire l’équation de Dirac, nous nous contentons d’y revenir très brièvement. Définissons les matrices 4 × 4 antisymétriques σ
µν = −σ
νµ par
σ
µν =
i
2
[γ
µ ,γ
ν ]
σ
0i = i
0 σ i
σ i 0
σ
ij = ε ijk
σ k 0
0 σ k
(19.157)
où nous avons donné la forme explicite de σ
0i et σ
ij dans la base de Dirac
(voir l’exercice 19.6.10 pour la base chirale), et examinons leurs relations de
commutation. On obtient par inspection
[σ
12 ,σ
23 ]=2iσ
31
[σ
12 ,σ
01 ]=2iσ
01
[σ
01 ,σ
02 ]=−2iσ
12
(19.158)
les autres relations s’en déduisant par permutation circulaire. Si nous définissons les générateurs infinitésimaux des rotations J 1 , J 2 et J 3 et des boosts
K 1 , K 2 et K 3 par
J l =
1
4
ε ljk σ
jk =
1
2
σ l 0
0 σ l
K i =
1
2
σ
0i
(19.159)
nous obtenons de (19.158)
[J l ,J m ]=iε lmp J p
[J l ,K m ]=iε lmp K p
[K l ,K m ]=−iε lmp K p
(19.160)
c’est-à-dire très précisément les relations de commutation des générateurs infinitésimaux (19.47), ou algèbre de Lie du groupe de Lorentz ; on note, que,
comme dans le § 19.2.2, les J i sont hermitiens mais non les K i . L’ensemble
{J i ,K i } forme une représentation de dimension 4 de l’algèbre de Lie du groupe
de Lorentz, et comme il s’agit d’une représentation de dimension finie, les 6
générateurs infinitésimaux ne peuvent pas être tous hermitiens. La définition
(19.159) s’écrit aussi, compte tenu de (19.45) et (19.46)
J
µν = −
1
2
σ
µν
(19.161)
Si une transformation de Lorentz Λ s’écrit sous forme exponentielle en fonction
des générateurs I
µν définis en (19.53)
Λ=exp
i
2
ω µν I
µν