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Physique quantique : Exercices et applications
Écrivons ensuite les relations de récurrence (19.155) pour n = n
′ − 1,m u l t i -
plions la première par β et la seconde par (E − m) et ajoutons les en tenant
compte de β
2 = m
2 − E
2 . Le membre de gauche de l’addition s’annule et le
résultat ne dépend plus que de C n ′ et c n ′ .O ne x p r i m eC n ′ en fonction de c n ′
et et on en déduit l’équation
n
′ + ν + j +
3
2
c n ′ − Zα
m + E
m − E
c n ′ = −
n
′ + ν − j +
1
2
c n ′
−Zα
m − E
m + E
c n ′
Par hypothèse c n ′ =0 , et cette équation est en fait l’équation aux valeurs
propres pour E qui donne
ZαE =
m 2 − E 2 (n
′ + ν +1)
ce qui permet d’écrire le résultat final pour E en fonction du nombre quantique
radial n
′ =0, 1, 2, ··· et de ν (19.153)
E =
m
1+(Zα) 2 /(n ′ + ν +1) 2
= m
⎡
⎢
⎣1+
(Zα)
2
n ′ +
(j +1/2) 2 − (Zα) 2
2
⎤
⎥
⎦
−1/2
(19.156)
La solution pour le cas j = l − 1/2 s’obtient en effectuant la substitution
j →− (j +1 ) . Le résultat (19.156) dépend de j par la seule combinaison
(j +1/2)
2 , qui est inchangée dans la substitution j →−(j +1). Les niveaux
d’énergie pour un même moment angulaire total et des moments angulaires
orbitaux (ou des parités) différents sont identiques. Dans le cas des niveaux
n =2de l’atome d’hydrogène, les sous-niveaux
2 p 1/2 et
2 s 1/2 ont la même
énergie, tandis que le niveau
2 p 3/2 en diffère par la structure fine. Cependant,
l’expérience montre que les niveaux
2 p 1/2 et
2 s 1/2 ont des énergies legèrement
différentes, en contradiction avec l’équation de Dirac. Cette différence d’énergie, de l’ordre de 10 % de la structure fine et appelée déplacement Lamb,n e
peut s’expliquer que dans le cadre d’une théorie des champs quantiques, dans
ce cas l’électrodynamique quantique.
Afin de comparer avec les résultats du chapitre 15, il est instructif de
prendre la limite non-relativiste de (19.156) lorsque Zα ≪ 1. En développant (19.156) à l’ordre (Zα)
4 inclus et en notant que n
′ est relié au nombre
quantique principal n par n
′ = n − j − 1/2, on obtient pour E à l’ordre (Zα)
4
E − m = −m
(Zα)
2
2n 2 + m
(Zα)
4
2n 4
−
n
j +1/2
+
3
2
Physique quantique : Exercices et applications
Écrivons ensuite les relations de récurrence (19.155) pour n = n
′ − 1,m u l t i -
plions la première par β et la seconde par (E − m) et ajoutons les en tenant
compte de β
2 = m
2 − E
2 . Le membre de gauche de l’addition s’annule et le
résultat ne dépend plus que de C n ′ et c n ′ .O ne x p r i m eC n ′ en fonction de c n ′
et et on en déduit l’équation
n
′ + ν + j +
3
2
c n ′ − Zα
m + E
m − E
c n ′ = −
n
′ + ν − j +
1
2
c n ′
−Zα
m − E
m + E
c n ′
Par hypothèse c n ′ =0 , et cette équation est en fait l’équation aux valeurs
propres pour E qui donne
ZαE =
m 2 − E 2 (n
′ + ν +1)
ce qui permet d’écrire le résultat final pour E en fonction du nombre quantique
radial n
′ =0, 1, 2, ··· et de ν (19.153)
E =
m
1+(Zα) 2 /(n ′ + ν +1) 2
= m
⎡
⎢
⎣1+
(Zα)
2
n ′ +
(j +1/2) 2 − (Zα) 2
2
⎤
⎥
⎦
−1/2
(19.156)
La solution pour le cas j = l − 1/2 s’obtient en effectuant la substitution
j →− (j +1 ) . Le résultat (19.156) dépend de j par la seule combinaison
(j +1/2)
2 , qui est inchangée dans la substitution j →−(j +1). Les niveaux
d’énergie pour un même moment angulaire total et des moments angulaires
orbitaux (ou des parités) différents sont identiques. Dans le cas des niveaux
n =2de l’atome d’hydrogène, les sous-niveaux
2 p 1/2 et
2 s 1/2 ont la même
énergie, tandis que le niveau
2 p 3/2 en diffère par la structure fine. Cependant,
l’expérience montre que les niveaux
2 p 1/2 et
2 s 1/2 ont des énergies legèrement
différentes, en contradiction avec l’équation de Dirac. Cette différence d’énergie, de l’ordre de 10 % de la structure fine et appelée déplacement Lamb,n e
peut s’expliquer que dans le cadre d’une théorie des champs quantiques, dans
ce cas l’électrodynamique quantique.
Afin de comparer avec les résultats du chapitre 15, il est instructif de
prendre la limite non-relativiste de (19.156) lorsque Zα ≪ 1. En développant (19.156) à l’ordre (Zα)
4 inclus et en notant que n
′ est relié au nombre
quantique principal n par n
′ = n − j − 1/2, on obtient pour E à l’ordre (Zα)
4
E − m = −m
(Zα)
2
2n 2 + m
(Zα)
4
2n 4
−
n
j +1/2
+
3
2