19. Physique quantique relativiste
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maintenant au comportement pour r → 0 ; les termes dominants sont
ZαP(r)=
ν + j +
3
2
p(r)
Zαp(r)=
−ν + j −
1
2
P (r)
(19.152)
On en déduit l’équation du second degré pour ν
ν
2 +2ν −
j
2 + j −
3
4
+(Zα)
2 =0
d’où l’expression de ν
ν = −1 ±
(j +1/2) 2 − (Zα) 2
(19.153)
Comme on doit respecter la condition ν>0 sous peine d’avoir une fonction
d’onde non normalisable à l’origine, il faut choisir le signe + dans (19.153).
De plus, pour que cette équation pour ν ait un sens, il faut que Zα ne soit
pas trop grand, et en fait Zα < 1 pour la valeur minimale j =1/2 de j.Àl a
limite non relativiste, (Zα) ≪ 1,o nr e t r o u v eν = l.
Étant donné les valeurs de β =
√
m 2 − E 2 et de ν (19.153), on résout le
problème en écrivant explicitement les polynômes P (r) et p(r)
P (r)=
n
C n r
n
p(r)=
n
c n r
n
(19.154)
d’où, en identifiant les coefficients de r
n
(E − m)C n + βc n =
n + ν + j +
5
2
c n+1 − ZαC n+1
(E + m)c n − βC n = −
n + ν − j +
3
2
C n+1 − Zαc n+1
(19.155)
Pour que la fonction d’onde soit normalisable à l’infini, il est nécessaire que
les séries (19.154) comportent un nombre fini de termes. Les valeurs propres
de E sont obtenues en exigeant que ces séries s’arrêtent pour une certaine
valeur de n. Il est facile de voir que cette valeur doit être identique pour les
deux séries. Supposons que la valeur maximale de n pour les deux séries soit
n
′ : C n = c n =0∀n>n
′ .P o u rn = n
′ , nous obtenons
(E − m)C n ′ = −βc n ′
(E + m)c n ′ = βC n ′
de sorte que
C n ′ =
m + E
m − E
c n ′