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Physique quantique : Exercices et applications
Ces équations se simplifient grâce à (19.137) et (19.143)
( σ ·
P )ψ =(E + m − qV )φ =(E + m − qV )( σ · ˆ
r)Yf (r)
et une équation analogue pour φ. On obtient finalement pour j = l +1/2
(E − qV − m)F (r)=
d
dr
+
j +3/2
r
f (r)
(E − qV + m)f (r)=−
d
dr
−
j − 1/2
r
F (r)
(19.146)
tandis que pour j = l − 1/2, un calcul analogue donne
(E − qV − m)G(r)=
d
dr
−
j − 1/2
r
g(r)
(E − qV + m)g(r)=−
d
dr
+
j +3/2
r
G(r)
(19.147)
On remarque que (19.147) se déduit de (19.146) par la substitution j →
−(j +1), et il suffit donc de résoudre l’un ou l’autre des deux systèmes.
Venons-en maintenant à un atome hydrogénoïde où le potentiel V (r) est
donné par
qV (r)=−
Zq
2
4πε 0 r
= −
Zα
r
(19.148)
La méthode de résolution de ces équations suit de près celle utilisée dans le
cas de l’atome d’hydrogène non relativiste. On pose
F (r)=r
ν P (r)e
−βr
f (r)=r
ν p(r)e
−βr
(19.149)
Les constantes β et ν contrôlent le comportement des fonctions F et f lorsque
r → 0 et r →∞respectivement, pourvu que P (r) et p(r) soient des polynômes
en r. Les équations (19.146) pour j = l +1/2 deviennent
E +
Zα
r
− m
P (r)=p
′ (r) − βp(r)+
ν
r
p(r)+
j +3/2
r
p(r)
E +
Zα
r
+ m
p(r)=−P
′ (r)+βP(r) −
ν
r
P (r)+
j − 1/2
r
P (r)
(19.150)
Si P (r) et p(r) sont bien des polynômes, à la limite r →∞, les termes dominants dans (19.150) sont
(E − m)P (r)=−βp(r)
(E + m)p(r)=βP(r)
(19.151)
ce qui implique β
2 = m
2 − E
2 . Pour que les fonctions d’onde soient normalisables, il faut que β>0,e td o n cq u em>E,s o i tβ =
√
m 2 − E 2 . Passons