19. Physique quantique relativiste
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Afin d’être complets, mais nous ne nous en servirons pas, nous donnons l’expression explicite de Y
jm
l
pour j = l ± 1/2 (exercice 9.7.18)
Y
l±1/2,m
l
=
1
√
2l +1
l ± m +1/2 Y
m−1/2
l
±
l ∓ m +1/2 Y
m+1/2
l
Pour construire φ, nous remarquons que ( σ · ˆ
r) est un pseudoscalaire. Bien
que ( σ · ˆ
r) ne commute pas avec
L, pour une particule de spin 1/2 le moment
angulaire total et la parité définissent une valeur unique de
L
2 ,cequifaitque
φ = −f nlj (r)( σ · ˆ
r)Y ljm (ˆ r)
(19.142)
possède toutes les propriétés requises de la “petite composante” associée à ψ :
son moment angulaire total est j et sa parité opposée à celle de ψ.
Pour obtenir les équations différentielles couplées auxquelles obéissent les
fonctions radiales F et f , nous utilisons l’identité valable pour toute fonction
radiale h(r)
( σ ·
P )h(r)Y(ˆ r)=( σ · ˆ
r)
2 ( σ ·
P )h(r)Y(ˆ r)
=( σ · ˆ
r)[ˆ r ·
P + i σ · (ˆ r ×
P )]h(r)Y(ˆ r)
=( σ · ˆ
r)
−i
∂
∂r
+
i
r
( σ ·
L)
h(r)Y(ˆ r)
(19.143)
ˆ
r ·
P = −i∂/∂r est la composante radiale
6 de
P .O np e u te x p r i m e r σ ·
L en
fonction de j et de l
σ ·
L = j(j +1)− l(l +1)−
3
4
soit
σ ·
L = j −
1
2
si j = l +
1
2
σ ·
L = −
j +
3
2
si j = l −
1
2
(19.144)
ce qui permet de remplacer ( σ ·
L) dans (19.143) par un nombre. Dans le cas
j = l +1/2, l’action de ( σ ·
P ) sur les spineurs ψ et φ s’écrit
( σ ·
P )ψ =( σ · ˆ
r)Y(ˆ r)
d
dr
−
j − 1/2
r
F (r)
( σ ·
P )φ = iY(ˆ r)
d
dr
+
j +3/2
r
f (r)
(19.145)
6. Cet opérateur doit être manipulé avec précaution car, malgré les apparences, il n’est
pas hermitien, ou plus exactement il n’est pas auto-adjoint : voir Messiah (1959), chapitre IX.