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Physique quantique : Exercices et applications
des matrices γ
µ , l’équation de Dirac devient (on observera un changement de
signe de m par rapport à (19.95))
(E − m − qV )ψ =( σ ·
P )φ
(E + m − qV )φ =( σ ·
P )ψ
(19.137)
Il ne faut pas confondre le spineur φ avec le spineur ϕ utilisé précédemment.
Comme σ ·
P est un scalaire pour les rotations, les équations (19.137) sont
invariantes par une rotation simultanée des variables d’espace et de spin, mais
non pour chacune de ces rotations séparément. Cela implique que le moment
angulaire total
J
J =
L +
1
2
σ =
L +
S
(19.138)
est une quantité conservée, alors que le moment angulaire orbital
L =
R×
P et
le spin
S ne le sont pas. Dans une inversion d’espace, ( σ ·
P ) change de signe :
c’est un pseudoscalaire, ce qui implique que ψ et φ sont de parité opposée.
Dans une inversion d’espace, on a donc les lois de transformation
ψ → κψ
φ →−κφ
(19.139)
où κ = ±1 est la parité.
Ces considérations sont suffisantes pour déterminer la dépendance angulaire de ψ et de φ ; en effet, pour une particule de spin 1/2 et de moment angulaire total j, le moment angulaire orbital l a deux valeurs possibles, l = j ±1/2
correpondant à une parité κ =( −1)
l . Par définition, nous allons choisir la
“grande composante” ψ comme celle dont la parité est κ =( −1)
l , tandis que
d’après (19.139), la “petite composante” φ a la parité opposée κ =( −1)
l+1 .
Notons que ces conventions ne comportent aucune approximation. Nous pouvons écrire ψ en combinant une fonction d’onde orbitale et un vecteur d’état
de spin grâce aux coefficients de Clebsch-Gordan (9.132)
ψ nljm ( r, s)=
m l ,ms
C
l1/2
m l ms;jm r, s|nljmm l m s
=
i
r
F nlj (r)
m l ,ms
C
l1/2
m l ms;jm Y
m−ms
l
(ˆ r)χ ms
(19.140)
où n est un nombre quantique radial, Y
m
l
un harmonique sphérique et χ un
spineur de Pauli à deux composantes, m s = ±1/2. Définissant la fonction
d’onde couplée d’espace et de spin Y
jm
l (ˆ r) par
ψ nljm ( r, s)=
i
r
F nlj (r)Y
jm
l (ˆ r)
nous écrivons Y
jm
l
sous forme d’un spineur à deux composantes m s =+ 1 /2
(composante supérieure) et m s = −1/2 (composante inférieure)
Y
jm
l
=
C
l1/2
m−1/2,1/2;jm Y
m−1/2
l
C
l1/2
m+1/2,−1/2;jm Y
m+1/2
l
(19.141)
Physique quantique : Exercices et applications
des matrices γ
µ , l’équation de Dirac devient (on observera un changement de
signe de m par rapport à (19.95))
(E − m − qV )ψ =( σ ·
P )φ
(E + m − qV )φ =( σ ·
P )ψ
(19.137)
Il ne faut pas confondre le spineur φ avec le spineur ϕ utilisé précédemment.
Comme σ ·
P est un scalaire pour les rotations, les équations (19.137) sont
invariantes par une rotation simultanée des variables d’espace et de spin, mais
non pour chacune de ces rotations séparément. Cela implique que le moment
angulaire total
J
J =
L +
1
2
σ =
L +
S
(19.138)
est une quantité conservée, alors que le moment angulaire orbital
L =
R×
P et
le spin
S ne le sont pas. Dans une inversion d’espace, ( σ ·
P ) change de signe :
c’est un pseudoscalaire, ce qui implique que ψ et φ sont de parité opposée.
Dans une inversion d’espace, on a donc les lois de transformation
ψ → κψ
φ →−κφ
(19.139)
où κ = ±1 est la parité.
Ces considérations sont suffisantes pour déterminer la dépendance angulaire de ψ et de φ ; en effet, pour une particule de spin 1/2 et de moment angulaire total j, le moment angulaire orbital l a deux valeurs possibles, l = j ±1/2
correpondant à une parité κ =( −1)
l . Par définition, nous allons choisir la
“grande composante” ψ comme celle dont la parité est κ =( −1)
l , tandis que
d’après (19.139), la “petite composante” φ a la parité opposée κ =( −1)
l+1 .
Notons que ces conventions ne comportent aucune approximation. Nous pouvons écrire ψ en combinant une fonction d’onde orbitale et un vecteur d’état
de spin grâce aux coefficients de Clebsch-Gordan (9.132)
ψ nljm ( r, s)=
m l ,ms
C
l1/2
m l ms;jm r, s|nljmm l m s
=
i
r
F nlj (r)
m l ,ms
C
l1/2
m l ms;jm Y
m−ms
l
(ˆ r)χ ms
(19.140)
où n est un nombre quantique radial, Y
m
l
un harmonique sphérique et χ un
spineur de Pauli à deux composantes, m s = ±1/2. Définissant la fonction
d’onde couplée d’espace et de spin Y
jm
l (ˆ r) par
ψ nljm ( r, s)=
i
r
F nlj (r)Y
jm
l (ˆ r)
nous écrivons Y
jm
l
sous forme d’un spineur à deux composantes m s =+ 1 /2
(composante supérieure) et m s = −1/2 (composante inférieure)
Y
jm
l
=
C
l1/2
m−1/2,1/2;jm Y
m−1/2
l
C
l1/2
m+1/2,−1/2;jm Y
m+1/2
l
(19.141)