19. Physique quantique relativiste
845
L’addition des deux termes donne le résultat recherché
Ω[V, Ω] −
1
2
[V,
P
2 ]=
1
2
∇
2 V − σ · (
E ×
P )=−
1
2
∇·
E − σ · (
E ×
P )
Le résultat pour δH à l’ordre (p/m)
2 est finalement
δH = −
P
4
8m 3 −
q
8m 2
∇·
E +2 σ · (
E ×
P )
(19.133)
Le premier terme de (19.133) n’est autre que la correction d’ordre (p/m)
2 à
l’énergie cinétique
P 2 + m 2 = m +
P
2
2m
−
P
4
8m 3 + ···
Le second terme proportionnel à
∇·
E = ρ ext ,oùρ ext est la densité de charge,
est appelé terme de Darwin. Il n’est différent de zéro que dans la région
d’espace où ρ ext =0, et il est proportionnel à δ( r) pour une charge ponctuelle.
Le dernier terme est le plus intéressant, c’est le couplage spin-orbite car
E ×
P = −
1
r
dV
dr
R ×
P = −
1
r
dV
dr
L
(19.134)
où
L est le moment angulaire orbital. Dans le cas d’une charge ponctuelle,
ρ ext = Zqδ( r), le hamiltonien δH prend la forme finale
δH = −
P
4
8m 3 +
Zα
8m 2 δ( r)+
q
4m 2
1
r
dV
dr
σ ·
L
(19.135)
où α = q
2 /(4πε 0 ) est la constante de structure fine. Les 3 corrections relativistes : énergie cinétique, terme de Darwin et structure fine ont déjà été
rencontrées au § 15.2.2 et à l’exercice 15.4.2.
19.3.5 L’atome d’hydrogène
L’expression (19.135) de δH valable à l’ordre (p/m)
2 donne en général un
niveau d’approximation suffisant pour l’étude de la structure fine. Il est cependant possible de résoudre exactement l’équation de Dirac dans le potentiel
coulombien d’une charge ponctuelle Z|q|. Nous allons partir d’une situation
plus générale en étudiant l’équation de Dirac dans un champ électrique statique à symétrie sphérique dérivant d’un potentiel V (r). Partons de la décomposition (19.122) ; comme nous recherchons une solution stationnaire d’énergie
E, nous posons
˜
Ψ(t, , r)=e
−iEt ψ( r)
˜
Φ(t, , r)=e
−iEt φ( r)
(19.136)
Les spineurs ψ et φ sont respectivement les “grandes composantes” et les “petites composantes” du spineur de Dirac. En utilisant la représentation (19.104)
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L’addition des deux termes donne le résultat recherché
Ω[V, Ω] −
1
2
[V,
P
2 ]=
1
2
∇
2 V − σ · (
E ×
P )=−
1
2
∇·
E − σ · (
E ×
P )
Le résultat pour δH à l’ordre (p/m)
2 est finalement
δH = −
P
4
8m 3 −
q
8m 2
∇·
E +2 σ · (
E ×
P )
(19.133)
Le premier terme de (19.133) n’est autre que la correction d’ordre (p/m)
2 à
l’énergie cinétique
P 2 + m 2 = m +
P
2
2m
−
P
4
8m 3 + ···
Le second terme proportionnel à
∇·
E = ρ ext ,oùρ ext est la densité de charge,
est appelé terme de Darwin. Il n’est différent de zéro que dans la région
d’espace où ρ ext =0, et il est proportionnel à δ( r) pour une charge ponctuelle.
Le dernier terme est le plus intéressant, c’est le couplage spin-orbite car
E ×
P = −
1
r
dV
dr
R ×
P = −
1
r
dV
dr
L
(19.134)
où
L est le moment angulaire orbital. Dans le cas d’une charge ponctuelle,
ρ ext = Zqδ( r), le hamiltonien δH prend la forme finale
δH = −
P
4
8m 3 +
Zα
8m 2 δ( r)+
q
4m 2
1
r
dV
dr
σ ·
L
(19.135)
où α = q
2 /(4πε 0 ) est la constante de structure fine. Les 3 corrections relativistes : énergie cinétique, terme de Darwin et structure fine ont déjà été
rencontrées au § 15.2.2 et à l’exercice 15.4.2.
19.3.5 L’atome d’hydrogène
L’expression (19.135) de δH valable à l’ordre (p/m)
2 donne en général un
niveau d’approximation suffisant pour l’étude de la structure fine. Il est cependant possible de résoudre exactement l’équation de Dirac dans le potentiel
coulombien d’une charge ponctuelle Z|q|. Nous allons partir d’une situation
plus générale en étudiant l’équation de Dirac dans un champ électrique statique à symétrie sphérique dérivant d’un potentiel V (r). Partons de la décomposition (19.122) ; comme nous recherchons une solution stationnaire d’énergie
E, nous posons
˜
Ψ(t, , r)=e
−iEt ψ( r)
˜
Φ(t, , r)=e
−iEt φ( r)
(19.136)
Les spineurs ψ et φ sont respectivement les “grandes composantes” et les “petites composantes” du spineur de Dirac. En utilisant la représentation (19.104)