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Physique quantique : Exercices et applications
Pour mettre l’équation de Dirac sous la forme H eff ψ = Eψ, nous utilisons la
première des équations (19.123) et remarquons que Ω
2 =
P
2 pour écrire
Π
0 Ψ=
1
2m
P
2 Ψ −
1
4m 2 ΩΠ
0 ΩΨ
ce qui est correct à l’ordre (p/m)
2 inclus. Finalement, nous utilisons (19.129)
pour passer de Ψ à ψ
Π
0
1 −
1
8m 2
P
2
ψ =
1
2m
P
2 ψ −
1
16m 3
P
4 ψ −
1
4m 2 ΩΠ
0 Ωψ
(19.130)
Dans cette situation statique, nous pouvons remplacer Π
0 par E − qV et
identifier le hamiltonien effectif à l’aide de H eff ψ = Eψ qui s’écrit
H eff = H 0 + δH
H 0 =
P
2
2m
+ qV
δH =
1
8m 2 Π
0
P
2 −
1
16m 3
P
4 −
1
4m 2 ΩΠ
0 Ω
(19.131)
Dans δH, on peut utiliser l’approximation suivante pour Π
0 ψ, correcte à
l’ordre (p/m)
2 pour H eff
Π
0 ψ =(E − qV )ψ =
P
2
2m
ψ
(19.132)
Pour exploiter cette équation et pouvoir remplacer Π
0 par
P
2 /2m, il faut faire
agir Π
0 à droite. Les deux termes contenant Π
0 sont, à un facteur −1/4m
2
près, ΩΠ
0 Ω et −Π
0
P
2 /2. Pour déplacer Π
0 vers la droite, nous écrivons
ΩΠ
0 Ω=Ω [ Π
0 , Ω] +
P
2 Ω
−
1
2
Π
0
P
2 = −
1
2
[Π
0 ,
P
2 ] −
1
2
P
2 Π
0
Comme Π
0 = E − qV , il suffit en fait de calculer les commutateurs avec V .
Pour évaluer le premier terme, nous utilisons (3.49), Ω=−iσ
l ∂ l et [P m ,V]=
−i∂ m V
Ω[V, Ω]ψ = iσ l σ m ∂ l [V, ∂ m ]ψ =(δ lm + iε lmp σ p )([∂ l ∂ m V ]ψ +[P m ,V][∂ l ψ])
=( ∇
2 V )ψ − (
E ·
∇)ψ + i σ · (
E ×
∇)ψ
où le champ électrique
E = −
∇V . On obtient pour le second terme
−
1
2
[V,
P
2 ]ψ = −
1
2
P · [V,
P ]+[V,
P ] ·
P
ψ
= −
1
2
(∇
2 V )ψ +(
E ·
∇)ψ