19. Physique quantique relativiste
843
19.3.4 Le hamiltonien de structure fine
Nous avons obtenu la limite non relativiste de l’équation de Dirac au premier ordre en v lorsque v ≪ 1, et cette limite n’est autre que l’expression
galiléenne que nous récrivons sous forme explicite
i
∂Ψ
∂t
=
1
2m
(−i
∇−q
A)
2 −
q
2m
( σ ·
B)+qV
Ψ=HΨ
(19.127)
B =
∇×
A est le champ magnétique. Le petit paramètre qui permet de passer à
l’approximation galiléenne est p/m,oùp est une valeur typique de l’impulsion,
et le développement est en fait en puissances de 1/m. L’équation (19.127) est
valable à l’ordre p/m, et nous nous intéressons maintenant à l’approximation
d’ordre (p/m)
2 qui nous permettra de déduire le hamiltonien de la structure
fine. Il existe une méthode systématique pour effectuer ce développement à
tous les ordres en p/m, la méthode de Foldy-Wouthuysen, mais cette méthode
est complexe et nous allons nous contenter d’une approche plus élémentaire
pour aller jusqu’à l’ordre (p/m)
2 . Nous allons nous limiter au cas d’un champ
électrique statique dérivant d’un potentiel indépendant du temps V ,e td o n c
B =0. La première remarque concerne la normalisation de la fonction d’onde :
dans la théorie de Dirac, c’est la quantité
d
3 rρ(t, , x)=
α
d
3 r
|Ψ α |
2 + |Φ α |
2
qui doit être normalisée à l’unité. D’après (19.124) écrite avec
Π=
P car nous
s o m m e sd a n sl ec a s
A =0, la condition de normalisation s’écrit
d
3 r
|Ψ|
2 +
1
4m 2 Ψ
†
P
2 Ψ
(19.128)
Cette équation montre qu’à l’ordre (p/m)
2 , la relation entre le spineur de
Dirac ψ et le spineur Ψ est
ψ ≃
1+
P
2
8m 2
ΨΨ ≃
1 −
P
2
8m 2
ψ
(19.129)
La relation entre Ψ et Φ doit maintenant être améliorée pour tenir compte
d e st e r m e se n(p/m)
2 . Posons
Φ=
1
2m
ΩΨ+Φ
′ avec Ω = σ ·
P
et utilisons la seconde des équations (19.123) pour déterminer Φ
′ ,comptetenu
de |Π
0 |≪m
Φ
′ = −
1
4m 2 Π
0 ΩΨ
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19.3.4 Le hamiltonien de structure fine
Nous avons obtenu la limite non relativiste de l’équation de Dirac au premier ordre en v lorsque v ≪ 1, et cette limite n’est autre que l’expression
galiléenne que nous récrivons sous forme explicite
i
∂Ψ
∂t
=
1
2m
(−i
∇−q
A)
2 −
q
2m
( σ ·
B)+qV
Ψ=HΨ
(19.127)
B =
∇×
A est le champ magnétique. Le petit paramètre qui permet de passer à
l’approximation galiléenne est p/m,oùp est une valeur typique de l’impulsion,
et le développement est en fait en puissances de 1/m. L’équation (19.127) est
valable à l’ordre p/m, et nous nous intéressons maintenant à l’approximation
d’ordre (p/m)
2 qui nous permettra de déduire le hamiltonien de la structure
fine. Il existe une méthode systématique pour effectuer ce développement à
tous les ordres en p/m, la méthode de Foldy-Wouthuysen, mais cette méthode
est complexe et nous allons nous contenter d’une approche plus élémentaire
pour aller jusqu’à l’ordre (p/m)
2 . Nous allons nous limiter au cas d’un champ
électrique statique dérivant d’un potentiel indépendant du temps V ,e td o n c
B =0. La première remarque concerne la normalisation de la fonction d’onde :
dans la théorie de Dirac, c’est la quantité
d
3 rρ(t, , x)=
α
d
3 r
|Ψ α |
2 + |Φ α |
2
qui doit être normalisée à l’unité. D’après (19.124) écrite avec
Π=
P car nous
s o m m e sd a n sl ec a s
A =0, la condition de normalisation s’écrit
d
3 r
|Ψ|
2 +
1
4m 2 Ψ
†
P
2 Ψ
(19.128)
Cette équation montre qu’à l’ordre (p/m)
2 , la relation entre le spineur de
Dirac ψ et le spineur Ψ est
ψ ≃
1+
P
2
8m 2
ΨΨ ≃
1 −
P
2
8m 2
ψ
(19.129)
La relation entre Ψ et Φ doit maintenant être améliorée pour tenir compte
d e st e r m e se n(p/m)
2 . Posons
Φ=
1
2m
ΩΨ+Φ
′ avec Ω = σ ·
P
et utilisons la seconde des équations (19.123) pour déterminer Φ
′ ,comptetenu
de |Π
0 |≪m
Φ
′ = −
1
4m 2 Π
0 ΩΨ