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Physique quantique : Exercices et applications
Nous nous attendons à ce | ˜
Φ|≪| ˜
Ψ| lorsque v ≪ 1 : ˜
Ψ est la “grande composante” et ˜
Φ la “petite composante” du spineur de Dirac. En termes de ces
spineurs, l’équation(19.121) devient, sans approximations
Π
0 ˜
Ψ − ( σ ·
Π) ˜
Φ=m ˜
Ψ
Π
0 ˜
Φ − ( σ ·
Π) ˜
Ψ=−m ˜
Φ
Une façon un peu plus directe de déduire ces équations couplées, vérifiées par
les grandes et petites composantes, consiste à utiliser la représentation usuelle
(19.104) des matrices de Dirac : exercice 19.6.8. Pour une particule au repos
et en l’absence de champ extérieur, Π 0 = i∂ t ,
Π=0; ˜
Ψ et ˜
Φ sont alors proportionnels à exp(−imt). Afin d’éliminer cette dépendance rapide en temps,
ce qui revient à prendre la masse comme zéro d’énergie, nous définissons
˜
Ψ=e
−imt Ψ
˜
Φ=e
−imt Φ
ce qui transforme les équations précédentes en
Π
0 Ψ − ( σ ·
Π)Φ = 0
Π
0 Φ − ( σ ·
Π)Ψ = −2mΦ
(19.123)
Comme Π
0 ≃ E − m ≪ m, |Π
0 Φ|≪m|Φ| et nous pouvons écrire
Φ ≃
1
2m
( σ ·
Π)Ψ
(19.124)
En éliminant Φ de (19.123), nous obtenons l’équation suivante pour Ψ
Π
0 −
1
2m
( σ ·
Π)
2
Ψ=0
Si le champ électromagnétique se réduit à un champ magnétique : V =0 ,
alors Π
0 = P
0 = i∂ t et l’équation pour Ψ devient
i∂ t Ψ=
1
2m
( σ ·
Π)
2 Ψ=
1
2m
[ σ · (
P − q
A)]
2 Ψ
ce qui montre que la limite non relativiste du hamiltonien est donnée exactement par l’expression obtenue dans le cas galiléen.
H =
1
2m
( σ ·
Π)
2 =
1
2m
[ σ · (
P − q
A)]
2
(19.125)
On retrouve donc la valeur γ = q/m du facteur gyromagnétique. La déduction
de l’expression du courant est renvoyée à l’exercice 19.6.8, où l’on montre que
j =
1
2m
Ψ
†
ΠΨ+(
ΠΨ)
† Ψ
+
1
2m
∇×(Ψ
† σΨ)
(19.126)
Ceci n’est autre que l’expression du courant de Schrödinger auquel s’ajoute
un terme provenant du moment magnétique.
Physique quantique : Exercices et applications
Nous nous attendons à ce | ˜
Φ|≪| ˜
Ψ| lorsque v ≪ 1 : ˜
Ψ est la “grande composante” et ˜
Φ la “petite composante” du spineur de Dirac. En termes de ces
spineurs, l’équation(19.121) devient, sans approximations
Π
0 ˜
Ψ − ( σ ·
Π) ˜
Φ=m ˜
Ψ
Π
0 ˜
Φ − ( σ ·
Π) ˜
Ψ=−m ˜
Φ
Une façon un peu plus directe de déduire ces équations couplées, vérifiées par
les grandes et petites composantes, consiste à utiliser la représentation usuelle
(19.104) des matrices de Dirac : exercice 19.6.8. Pour une particule au repos
et en l’absence de champ extérieur, Π 0 = i∂ t ,
Π=0; ˜
Ψ et ˜
Φ sont alors proportionnels à exp(−imt). Afin d’éliminer cette dépendance rapide en temps,
ce qui revient à prendre la masse comme zéro d’énergie, nous définissons
˜
Ψ=e
−imt Ψ
˜
Φ=e
−imt Φ
ce qui transforme les équations précédentes en
Π
0 Ψ − ( σ ·
Π)Φ = 0
Π
0 Φ − ( σ ·
Π)Ψ = −2mΦ
(19.123)
Comme Π
0 ≃ E − m ≪ m, |Π
0 Φ|≪m|Φ| et nous pouvons écrire
Φ ≃
1
2m
( σ ·
Π)Ψ
(19.124)
En éliminant Φ de (19.123), nous obtenons l’équation suivante pour Ψ
Π
0 −
1
2m
( σ ·
Π)
2
Ψ=0
Si le champ électromagnétique se réduit à un champ magnétique : V =0 ,
alors Π
0 = P
0 = i∂ t et l’équation pour Ψ devient
i∂ t Ψ=
1
2m
( σ ·
Π)
2 Ψ=
1
2m
[ σ · (
P − q
A)]
2 Ψ
ce qui montre que la limite non relativiste du hamiltonien est donnée exactement par l’expression obtenue dans le cas galiléen.
H =
1
2m
( σ ·
Π)
2 =
1
2m
[ σ · (
P − q
A)]
2
(19.125)
On retrouve donc la valeur γ = q/m du facteur gyromagnétique. La déduction
de l’expression du courant est renvoyée à l’exercice 19.6.8, où l’on montre que
j =
1
2m
Ψ
†
ΠΨ+(
ΠΨ)
† Ψ
+
1
2m
∇×(Ψ
† σΨ)
(19.126)
Ceci n’est autre que l’expression du courant de Schrödinger auquel s’ajoute
un terme provenant du moment magnétique.