19. Physique quantique relativiste
841
car A l = −A
l . En terme du moment conjugué Π, la prescription est
P
µ → Π
µ = P
µ − qA
µ
(19.115)
L’équation de Dirac en présence d’un champ électromagnétique s’écrit finalement
γ
µ (i∂ µ − qA µ ) ψ =(iγ
µ D µ )ψ = mψ
(19.116)
où
D µ = ∂ µ + iqA µ
(19.117)
est la forme quadri-dimensionnelle de la dérivée covariante. On vérifie que le
transformé ψ
′ de ψ dans une transformation de jauge locale
ψ(x) → ψ
′ (x)=e
−iqλ(x) ψ(x)
(19.118)
obéit à l’équation de Dirac (19.117) à condition d’effectuer sur le potentiel la
transformation de jauge
A µ (x) → A
′
µ (x)=A µ (x)+∂ µ λ(x)
(19.119)
Comme le courant de Dirac ne contient pas de dérivées, il ne dépend pas
des potentiels, contrairement à celui de Schrödinger. Il sera commode pour
ce qui suit de récrire l’équation de Dirac (19.116) en utilisant les spineurs de
Weyl. D’après (19.115), le moment conjugué Π
µ est donné par (attention aux
signes et on remarque que dans ce chapitre le potentiel électrique est noté V,
et non V !)
Π
µ = D
µ
(Π
0 ,
Π) = (i∂ t − qV, −i
∇−q
A)
(19.120)
Nous obtenons de (19.95)
(Π
0 − σ ·
Π)χ = mϕ
(Π
0 + σ ·
Π)ϕ = mχ
(19.121)
Nous allons utiliser ces équations pour calculer le moment magnétique d’une
particule de Dirac chargée. Nous avons vu que l’invariance galiléenne imposait
un facteur gyromagnétique γ = q/m pour une particule de spin 1/2, et nous
allons retrouver ce résultat (heureusement, car sinon il y aurait une sérieuse
contradiction !) dans le cas de l’équation de Dirac.
Pour comparer avec le cas galiléen, examinons la limite non relativiste de
l’équation de Dirac, lorsque la vitesse v de la particule est faible par rapport
à celle de la lumière : v ≪ 1, soit encore p/m ≪ 1,oùp désigne une impulsion
typique. Comme dans ce cas Π
0 ≃ m et σ ·
Π ∼ p, l’équation(19.121) montre
que ϕ ≃ χ, ce qui nous conduit à définir les combinaisons des spineurs de
Weyl
˜
Ψ=
1
√
2
(χ + ϕ)
˜
Φ=
1
√
2
(χ − ϕ)
(19.122)
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car A l = −A
l . En terme du moment conjugué Π, la prescription est
P
µ → Π
µ = P
µ − qA
µ
(19.115)
L’équation de Dirac en présence d’un champ électromagnétique s’écrit finalement
γ
µ (i∂ µ − qA µ ) ψ =(iγ
µ D µ )ψ = mψ
(19.116)
où
D µ = ∂ µ + iqA µ
(19.117)
est la forme quadri-dimensionnelle de la dérivée covariante. On vérifie que le
transformé ψ
′ de ψ dans une transformation de jauge locale
ψ(x) → ψ
′ (x)=e
−iqλ(x) ψ(x)
(19.118)
obéit à l’équation de Dirac (19.117) à condition d’effectuer sur le potentiel la
transformation de jauge
A µ (x) → A
′
µ (x)=A µ (x)+∂ µ λ(x)
(19.119)
Comme le courant de Dirac ne contient pas de dérivées, il ne dépend pas
des potentiels, contrairement à celui de Schrödinger. Il sera commode pour
ce qui suit de récrire l’équation de Dirac (19.116) en utilisant les spineurs de
Weyl. D’après (19.115), le moment conjugué Π
µ est donné par (attention aux
signes et on remarque que dans ce chapitre le potentiel électrique est noté V,
et non V !)
Π
µ = D
µ
(Π
0 ,
Π) = (i∂ t − qV, −i
∇−q
A)
(19.120)
Nous obtenons de (19.95)
(Π
0 − σ ·
Π)χ = mϕ
(Π
0 + σ ·
Π)ϕ = mχ
(19.121)
Nous allons utiliser ces équations pour calculer le moment magnétique d’une
particule de Dirac chargée. Nous avons vu que l’invariance galiléenne imposait
un facteur gyromagnétique γ = q/m pour une particule de spin 1/2, et nous
allons retrouver ce résultat (heureusement, car sinon il y aurait une sérieuse
contradiction !) dans le cas de l’équation de Dirac.
Pour comparer avec le cas galiléen, examinons la limite non relativiste de
l’équation de Dirac, lorsque la vitesse v de la particule est faible par rapport
à celle de la lumière : v ≪ 1, soit encore p/m ≪ 1,oùp désigne une impulsion
typique. Comme dans ce cas Π
0 ≃ m et σ ·
Π ∼ p, l’équation(19.121) montre
que ϕ ≃ χ, ce qui nous conduit à définir les combinaisons des spineurs de
Weyl
˜
Ψ=
1
√
2
(χ + ϕ)
˜
Φ=
1
√
2
(χ − ϕ)
(19.122)