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Physique quantique : Exercices et applications
impliquent que seules les combinaisons χ
† ϕ et ϕ
† χ sont invariantes de Lorentz.
Ces combinaisons permettent de former des densités scalaire S et pseudoscalaire P
S = χ
† ϕ + ϕ
† χ
P = χ
† ϕ − ϕ
† χ
(19.110)
En effet, S est invariant par construction dans une inversion d’espace qui
échange ϕ et χ,a l o r sq u eP change de signe dans cette opération. De (19.89)
et (19.91), on déduit la loi de transformation de ρ dans un boost de rapidité
η suivant ˆ
n
ρ → ρ
′ = ρ cosh η +( j · ˆ
n)sinhη
(19.111)
C’est bien la loi de transformation de la composante de temps d’un quadrivecteur.
Pour retrouver le formalisme usuel, il suffit de remarquer que S peut
s’écrire en fonction du spineur à 4 composantes ψ (19.98)
S =
αβ
ψ
∗
α (γ 0 ) αβ ψ β = ψ
† γ 0 ψ
ce qui conduit à définir l’adjoint de Pauli ψ par
ψ β =
α
ψ
∗
α (γ 0 ) αβ
ψ = ψ
† γ 0
(19.112)
Avec cette notation, S = ψψ et P = ψγ 5 ψ.I le s ti m m é d i a td er é c r i r el e
courant de Dirac sous la forme standard
j
µ = ψγ
µ ψ
(19.113)
Les quantités ψψ, ψγ
µ ψ ou ψγ 5 ψ sont appelées bilinéaires de Dirac :n o u se n
verrons d’autres exemples un peu plus loin.
19.3.3 Courant de Dirac en présence d’un champ
électromagnétique
Pour obtenir le courant de Dirac en présence d’un champ électromagnétique classique A
µ =( A
0 ,A
i )=( V,
A), nous utilisons la prescription du
couplage minimal
−i∂ µ →−i∂ µ + qA µ
(19.114)
où q est la charge électrique de la particule de Dirac. Le signe (+) devant qA µ
s’explique ainsi : la prescription pour l’équation de Schrödinger est
−i
∇→−i
∇−q
A =⇒−i∂ l →−i∂ l + qA l
Physique quantique : Exercices et applications
impliquent que seules les combinaisons χ
† ϕ et ϕ
† χ sont invariantes de Lorentz.
Ces combinaisons permettent de former des densités scalaire S et pseudoscalaire P
S = χ
† ϕ + ϕ
† χ
P = χ
† ϕ − ϕ
† χ
(19.110)
En effet, S est invariant par construction dans une inversion d’espace qui
échange ϕ et χ,a l o r sq u eP change de signe dans cette opération. De (19.89)
et (19.91), on déduit la loi de transformation de ρ dans un boost de rapidité
η suivant ˆ
n
ρ → ρ
′ = ρ cosh η +( j · ˆ
n)sinhη
(19.111)
C’est bien la loi de transformation de la composante de temps d’un quadrivecteur.
Pour retrouver le formalisme usuel, il suffit de remarquer que S peut
s’écrire en fonction du spineur à 4 composantes ψ (19.98)
S =
αβ
ψ
∗
α (γ 0 ) αβ ψ β = ψ
† γ 0 ψ
ce qui conduit à définir l’adjoint de Pauli ψ par
ψ β =
α
ψ
∗
α (γ 0 ) αβ
ψ = ψ
† γ 0
(19.112)
Avec cette notation, S = ψψ et P = ψγ 5 ψ.I le s ti m m é d i a td er é c r i r el e
courant de Dirac sous la forme standard
j
µ = ψγ
µ ψ
(19.113)
Les quantités ψψ, ψγ
µ ψ ou ψγ 5 ψ sont appelées bilinéaires de Dirac :n o u se n
verrons d’autres exemples un peu plus loin.
19.3.3 Courant de Dirac en présence d’un champ
électromagnétique
Pour obtenir le courant de Dirac en présence d’un champ électromagnétique classique A
µ =( A
0 ,A
i )=( V,
A), nous utilisons la prescription du
couplage minimal
−i∂ µ →−i∂ µ + qA µ
(19.114)
où q est la charge électrique de la particule de Dirac. Le signe (+) devant qA µ
s’explique ainsi : la prescription pour l’équation de Schrödinger est
−i
∇→−i
∇−q
A =⇒−i∂ l →−i∂ l + qA l