19. Physique quantique relativiste
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Il est commode de récrire (19.97) en explicitant les composantes α =1, 2 des
spineurs
∂ t χ α = − σ αβ ·
∇χ β − imϕ α
∂ t ϕ α = σ αβ ·
∇ϕ β − imχ α
(19.105)
Nous nous servirons également du complexe conjugué de ces deux équations
∂ t χ
∗
α = −(
∇χ
∗
β ) · σ βα + imϕ
∗
α
∂ t ϕ
∗
α =(
∇ϕ
∗
β ) · σ βα + imχ
∗
α
où nous avons utilisé σ
∗
αβ = σ βα . On en déduit
∂ t (χ
† χ)=−
∇·(χ
† σχ)+im(ϕ
† χ − χ
† ϕ)
∂ t (ϕ
† ϕ)=
∇·(ϕ
† σϕ)+im(ϕ
† χ − χ
† ϕ)
(19.106)
avec les notations
χ
† χ =
2
α=1
χ
∗
α χ α
χ
† σχ =
2
α,β=1
χ
∗
α σ αβ χ β
(19.107)
L’équation de continuité
∂ρ
∂t
+
∇· j =0
(19.108)
s’obtient en additionnant les deux équations (19.106) et en définissant
ρ = χ
† χ + ϕ
† ϕ
j = χ
† σχ − ϕ
† σϕ
(19.109)
Initialement, Dirac introduisit son équation en imposant la positivité de la
densité, et notre définition (19.109) de ρ satisfait à l’évidence cette propriété :
ρ ≥ 0. De plus, la densité comme le courant exhibent des propriétés remarquables.
(i) Ils ne contiennent pas de termes mélangeant les spineurs χ et ϕ, une
propriété très importante pour les interactions électromagnétiques et
plus encore pour les interactions électrofaibles.
(ii) Le courant j ne contient pas de dérivées spatiales, contrairement au
courant de Schrödinger.
On peut écrire (19.108) sous forme covariante de Lorentz en définissant un
quadri-courant j
µ =(ρ, j) qui vérifie ∂
µ j µ =0.
Les lois de transformation (19.89) et (19.91) des spineurs de Weyl
χ → χ
′ = e
η( σ·ˆ n)/2 χϕ → ϕ
′ = e
−η( σ·ˆ n)/2 ϕ