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Physique quantique : Exercices et applications
où nous avons introduit la notation ∂ / = γ
µ ∂ µ et plus généralement A / = γ
µ A µ
pour un quadrivecteur A
µ .L am a t r i c eγ
0 échange les spineurs χ et ϕ et
représente donc l’opération parité Π
Π:ψ → Πψ = γ
0 ψ
Les spineurs χ et ϕ sont vecteurs propres de la matrice γ 5 , respectivement
avec les valeurs propres ±1. On dit que ces spineurs ont une chiralité positive
ou négative. Dans le cas de la masse nulle, l’hélicité est identique à la chiralité.
La représentation (19.102) où γ 5 est diagonale est, pour des raisons évidentes,
appelée représentation chirale, ou aussi base chirale,o ue n c o r ebase de Weyl.
Elle est bien adaptée au cas de particules de haute énergie, où E ≫ m,c equ i
est “proche” du cas de la masse nulle. Les opérateurs
P L =
1
2
(1 + γ 5 )
P R =
1
2
(1 − γ 5 )
sont les projecteurs sur les états de chiralité positive (R)e tn é g a t i v e( L).
On vérifie par un calcul explicite que les matrices de Dirac obéissent aux
relations d’anticommutation
γ
µ γ
ν + γ
ν γ
µ = {γ
µ ,γ
ν } =2g
µν
(19.103)
Il suffit de le vérifier pour {γ
0 ,γ
1 } et {γ
1 ,γ
2 }, les autres relations s’en déduisant par permutation circulaire (exercice 19.6.8). Les identités γ
µ† = γ
0 γ
µ γ
0
et {γ 5 ,γ
µ } =0sont souvent utilisées. Lorsque l’on utilise la construction
usuelle de l’équation de Dirac, il est nécessaire de vérifier sa covariance de
Lorentz, mais nous n’avons aucun besoin de le faire ici puisque nous sommes
partis de cette covariance pour la construire !
La représentation explicite (19.100) des matrices de Dirac n’est évidemment pas unique. Tout ensemble de matrices γ
′ µ relié aux γ
µ par une transformation de similarité
γ
µ → γ
′ µ =Ωγ
µ Ω
−1
fait aussi bien l’affaire. La représentation usuelle des matrices de Dirac est
celle où γ
0 est diagonal
γ
0 =
I 0
0 −I
γ
i =
0 σ i
−σ i 0
γ 5 =
0 I
I 0
(19.104)
Cette représentation est bien adaptée au cas de particules de faible énergie,
(E − m) ≪ m,ouv ≪ 1. On observera que les γ
i de la base de Dirac (19.104)
diffèrent par un signe moins des γ
i de la base chirale.
19.3.2 Courant de de Dirac
Notre objectif est identique à celui du chapitre 8 : déterminer les combinaisons bilinéaires des spineurs χ et ϕ qui obéissent à une équation de continuité.
Physique quantique : Exercices et applications
où nous avons introduit la notation ∂ / = γ
µ ∂ µ et plus généralement A / = γ
µ A µ
pour un quadrivecteur A
µ .L am a t r i c eγ
0 échange les spineurs χ et ϕ et
représente donc l’opération parité Π
Π:ψ → Πψ = γ
0 ψ
Les spineurs χ et ϕ sont vecteurs propres de la matrice γ 5 , respectivement
avec les valeurs propres ±1. On dit que ces spineurs ont une chiralité positive
ou négative. Dans le cas de la masse nulle, l’hélicité est identique à la chiralité.
La représentation (19.102) où γ 5 est diagonale est, pour des raisons évidentes,
appelée représentation chirale, ou aussi base chirale,o ue n c o r ebase de Weyl.
Elle est bien adaptée au cas de particules de haute énergie, où E ≫ m,c equ i
est “proche” du cas de la masse nulle. Les opérateurs
P L =
1
2
(1 + γ 5 )
P R =
1
2
(1 − γ 5 )
sont les projecteurs sur les états de chiralité positive (R)e tn é g a t i v e( L).
On vérifie par un calcul explicite que les matrices de Dirac obéissent aux
relations d’anticommutation
γ
µ γ
ν + γ
ν γ
µ = {γ
µ ,γ
ν } =2g
µν
(19.103)
Il suffit de le vérifier pour {γ
0 ,γ
1 } et {γ
1 ,γ
2 }, les autres relations s’en déduisant par permutation circulaire (exercice 19.6.8). Les identités γ
µ† = γ
0 γ
µ γ
0
et {γ 5 ,γ
µ } =0sont souvent utilisées. Lorsque l’on utilise la construction
usuelle de l’équation de Dirac, il est nécessaire de vérifier sa covariance de
Lorentz, mais nous n’avons aucun besoin de le faire ici puisque nous sommes
partis de cette covariance pour la construire !
La représentation explicite (19.100) des matrices de Dirac n’est évidemment pas unique. Tout ensemble de matrices γ
′ µ relié aux γ
µ par une transformation de similarité
γ
µ → γ
′ µ =Ωγ
µ Ω
−1
fait aussi bien l’affaire. La représentation usuelle des matrices de Dirac est
celle où γ
0 est diagonal
γ
0 =
I 0
0 −I
γ
i =
0 σ i
−σ i 0
γ 5 =
0 I
I 0
(19.104)
Cette représentation est bien adaptée au cas de particules de faible énergie,
(E − m) ≪ m,ouv ≪ 1. On observera que les γ
i de la base de Dirac (19.104)
diffèrent par un signe moins des γ
i de la base chirale.
19.3.2 Courant de de Dirac
Notre objectif est identique à celui du chapitre 8 : déterminer les combinaisons bilinéaires des spineurs χ et ϕ qui obéissent à une équation de continuité.