19. Physique quantique relativiste
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ensemble d’états et aussi leurs transformés par inversion d’espace, ce qui est a
fortiori nécessaire si la théorie doit être invariante par parité, alors le spineur
ψ décrivant ces particules doit contenir les deux types de spineurs de Weyl χ
et ϕ. Autrement dit, ψ doit avoir (au moins) quatre composantes
ψ =
χ
ϕ
=
⎛
⎜
⎜
⎝
χ 1
χ 2
ϕ 1
ϕ 2
⎞
⎟
⎟
⎠ =
⎛
⎜
⎜
⎝
ψ 1
ψ 2
ψ 3
ψ 4
⎞
⎟
⎟
⎠
(19.98)
Le vecteur à quatre composantes ψ est un spineur de Dirac.
Avant d’abandonner les spineurs de Weyl pour les spineurs de Dirac, il est
utile d’ajouter quelques commentaires sur le cas de la masse nulle : si m =0,
les spineurs χ et ϕ se découplent. On le voit directement sur (19.95) écrite
pour m =0
(I − σ · ˆ
p)χ( p)=0
(I + σ · ˆ
p)ϕ( p)=0
(19.99)
Les spineurs de Weyl de masse nulle sont des états propres de l’hélicité σ · ˆ
p/2 :
en effet, pour un spin 1/2, σ · ˆ
p/2 est bien la projection du moment angulaire
sur la direction de l’impulsion. Le spineur de Weyl χ( p) correspond à une
hélicité λ =1 /2 et ϕ( p) à une hélicité λ = −1/2. Ceci est en accord avec
les résultats du § 19.2.4 : une particule de masse nulle et de spin 1/2 a deux
états d’hélicité possibles, λ = ±1/2, et ces deux états ne peuvent être reliés
par aucune transformation de Lorentz du groupe connexe. Autrement dit,
χ et ϕ décrivent des particules différentes, et si les neutrinos avaient une
masse nulle, χ décrirait les antineutrinos et ϕ les neutrinos, deux particules
qui sont différentes. Comme la masse des neutrinos est non nulle, la situation
est plus complexe et pas encore clarifiée aujourd’hui. Notons enfin que par
analogie avec les photons, un état d’hélicité λ =1 /2 est appelé état polarisé
circulairement à droite, et λ = −1/2 état polarisé circulairement à gauche.
Après cette digression sur le cas de la masse nulle, mettons l’équation
de Dirac sous sa forme usuelle, en définissant les matrices de Dirac 4 × 4
γ
µ =(γ
0 ,γ
i ),a i n s iq u el am a t r i c eγ 5 = iγ
0 γ
1 γ
2 γ
3
γ
0 =
0 I
I 0
γ
i =
0 −σ i
σ i 0
γ 5 =
I 0
0 −I
(19.100)
On vérifie immédiatement (exercice 19.6.8) que (19.97) devient
iγ
0 ∂
∂t
+ iγ
i ∂
∂x i − m
ψ =0
(19.101)
soit en notation quadri-dimensionnelle
(iγ
µ ∂ µ − m) ψ =(i∂ / − m)ψ =0
(19.102)
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ensemble d’états et aussi leurs transformés par inversion d’espace, ce qui est a
fortiori nécessaire si la théorie doit être invariante par parité, alors le spineur
ψ décrivant ces particules doit contenir les deux types de spineurs de Weyl χ
et ϕ. Autrement dit, ψ doit avoir (au moins) quatre composantes
ψ =
χ
ϕ
=
⎛
⎜
⎜
⎝
χ 1
χ 2
ϕ 1
ϕ 2
⎞
⎟
⎟
⎠ =
⎛
⎜
⎜
⎝
ψ 1
ψ 2
ψ 3
ψ 4
⎞
⎟
⎟
⎠
(19.98)
Le vecteur à quatre composantes ψ est un spineur de Dirac.
Avant d’abandonner les spineurs de Weyl pour les spineurs de Dirac, il est
utile d’ajouter quelques commentaires sur le cas de la masse nulle : si m =0,
les spineurs χ et ϕ se découplent. On le voit directement sur (19.95) écrite
pour m =0
(I − σ · ˆ
p)χ( p)=0
(I + σ · ˆ
p)ϕ( p)=0
(19.99)
Les spineurs de Weyl de masse nulle sont des états propres de l’hélicité σ · ˆ
p/2 :
en effet, pour un spin 1/2, σ · ˆ
p/2 est bien la projection du moment angulaire
sur la direction de l’impulsion. Le spineur de Weyl χ( p) correspond à une
hélicité λ =1 /2 et ϕ( p) à une hélicité λ = −1/2. Ceci est en accord avec
les résultats du § 19.2.4 : une particule de masse nulle et de spin 1/2 a deux
états d’hélicité possibles, λ = ±1/2, et ces deux états ne peuvent être reliés
par aucune transformation de Lorentz du groupe connexe. Autrement dit,
χ et ϕ décrivent des particules différentes, et si les neutrinos avaient une
masse nulle, χ décrirait les antineutrinos et ϕ les neutrinos, deux particules
qui sont différentes. Comme la masse des neutrinos est non nulle, la situation
est plus complexe et pas encore clarifiée aujourd’hui. Notons enfin que par
analogie avec les photons, un état d’hélicité λ =1 /2 est appelé état polarisé
circulairement à droite, et λ = −1/2 état polarisé circulairement à gauche.
Après cette digression sur le cas de la masse nulle, mettons l’équation
de Dirac sous sa forme usuelle, en définissant les matrices de Dirac 4 × 4
γ
µ =(γ
0 ,γ
i ),a i n s iq u el am a t r i c eγ 5 = iγ
0 γ
1 γ
2 γ
3
γ
0 =
0 I
I 0
γ
i =
0 −σ i
σ i 0
γ 5 =
I 0
0 −I
(19.100)
On vérifie immédiatement (exercice 19.6.8) que (19.97) devient
iγ
0 ∂
∂t
+ iγ
i ∂
∂x i − m
ψ =0
(19.101)
soit en notation quadri-dimensionnelle
(iγ
µ ∂ µ − m) ψ =(i∂ / − m)ψ =0
(19.102)