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Physique quantique : Exercices et applications
Remarquant que
m e
−ησ3 = m(I cosh η − σ 3 sinh η)=E − σ 3 p 3
nous obtenons
(E − σ 3 p 3 )χ(p 3 )=mϕ(p 3 )
(E + σ 3 p 3 )ϕ(p 3 )=mχ(p 3 )
(19.94)
où E =(
p
2 + m
2 )
1/2 est l’énergie relativiste et nous avons écrit simplement
E pour EI. Au lieu d’un boost suivant ˆ
x 3 , nous aurions pu choisir un boost
suivant une direction ˆ
p arbitraire,
p = pˆ p, et (19.94) devient
(E − σ ·
p)χ( p)=mϕ( p)
(E + σ ·
p)ϕ( p)=mχ( p)
(19.95)
Récrivons maintenant (19.95) dans l’espace des coordonnées, en passant de
χ( p) à χ(t, , x) par une transformation de Fourier : la correspondance entre
espace des coordonnées et espace des énergies-impulsions étant donnée par
E → i∂ t et
p →−i
∇
χ(t, , x)=
d
3 x e
−i(Et− p· x) χ( p)
ϕ(t, , x)=
d
3 x e
−i(Et− p· x) ϕ( p)
(19.96)
L’équation (19.95) devient dans l’espace des coordonnées
(∂ t + σ ·
∇)χ(t, , x)+imϕ(t, , x)=0
(∂ t − σ ·
∇)ϕ(t, , x)+imχ(t, , x)=0
(19.97)
En multipliant à gauche la première des équations (19.97) par (∂ t − σ ·
∇)
et la seconde par (∂ t + σ ·
∇), on montre que les spineurs χ(t, , x) et ϕ(t, , x)
obéissent à l’équation de Klein-Gordon
(∂
2 + m
2 )χ =(∂
2 + m
2 )ϕ =0
L’équation (19.97) (ou sa version (19.95) dans l’espace des impulsions) n’est
autre que l’équation de Dirac, même si elle est écrite pour l’instant de façon
quelque peu inhabituelle. La version usuelle sera écrite d’ici peu, mais il nous
faut d’abord expliquer le rôle crucial de l’inversion d’espace pour obtenir cette
équation. Dans une inversion d’espace, p →− p et σ → σ : σ est un moment
angulaire, et donc un pseudovecteur. L’examen du comportement de (19.95)
dans une inversion d’espace nous permet de confirmer que cette inversion
transforme un spineur de Weyl χ en un spineur de Weyl ϕ et vice versa.S i
nous voulons construire une théorie de particules de spin 1/2 décrivant un
Physique quantique : Exercices et applications
Remarquant que
m e
−ησ3 = m(I cosh η − σ 3 sinh η)=E − σ 3 p 3
nous obtenons
(E − σ 3 p 3 )χ(p 3 )=mϕ(p 3 )
(E + σ 3 p 3 )ϕ(p 3 )=mχ(p 3 )
(19.94)
où E =(
p
2 + m
2 )
1/2 est l’énergie relativiste et nous avons écrit simplement
E pour EI. Au lieu d’un boost suivant ˆ
x 3 , nous aurions pu choisir un boost
suivant une direction ˆ
p arbitraire,
p = pˆ p, et (19.94) devient
(E − σ ·
p)χ( p)=mϕ( p)
(E + σ ·
p)ϕ( p)=mχ( p)
(19.95)
Récrivons maintenant (19.95) dans l’espace des coordonnées, en passant de
χ( p) à χ(t, , x) par une transformation de Fourier : la correspondance entre
espace des coordonnées et espace des énergies-impulsions étant donnée par
E → i∂ t et
p →−i
∇
χ(t, , x)=
d
3 x e
−i(Et− p· x) χ( p)
ϕ(t, , x)=
d
3 x e
−i(Et− p· x) ϕ( p)
(19.96)
L’équation (19.95) devient dans l’espace des coordonnées
(∂ t + σ ·
∇)χ(t, , x)+imϕ(t, , x)=0
(∂ t − σ ·
∇)ϕ(t, , x)+imχ(t, , x)=0
(19.97)
En multipliant à gauche la première des équations (19.97) par (∂ t − σ ·
∇)
et la seconde par (∂ t + σ ·
∇), on montre que les spineurs χ(t, , x) et ϕ(t, , x)
obéissent à l’équation de Klein-Gordon
(∂
2 + m
2 )χ =(∂
2 + m
2 )ϕ =0
L’équation (19.97) (ou sa version (19.95) dans l’espace des impulsions) n’est
autre que l’équation de Dirac, même si elle est écrite pour l’instant de façon
quelque peu inhabituelle. La version usuelle sera écrite d’ici peu, mais il nous
faut d’abord expliquer le rôle crucial de l’inversion d’espace pour obtenir cette
équation. Dans une inversion d’espace, p →− p et σ → σ : σ est un moment
angulaire, et donc un pseudovecteur. L’examen du comportement de (19.95)
dans une inversion d’espace nous permet de confirmer que cette inversion
transforme un spineur de Weyl χ en un spineur de Weyl ϕ et vice versa.S i
nous voulons construire une théorie de particules de spin 1/2 décrivant un