19. Physique quantique relativiste
835
cela n’est plus vrai pour une transformation de Lorentz, car
exp
1
2
ηη σ · ˆ
n
†
−1
=exp
−
1
2
ηη σ · ˆ
n
soit ϕ → ϕ
′ =exp
−
1
2
ηη σ · ˆ
n
ϕ
(19.91)
On observe que le passage de (19.89) à (19.91) correspond à ˆ
n →− ˆ
n,e tl e
passage de A à (A
† )
−1 est relié à l’inversion d’espace, ou opération parité :
l’opération parité commute avec les rotations, mais pas avec les boosts. Observons également que dans (19.20), x
−
= σ 0 x
0 + σ · x, et qu’une inversion
d’espace x →− x transforme
x
−
→ x
′
−
= σ 0 x
0 − σ · x
Mais il n’existe aucune matrice A ∈ SL(2, C) telle que
Ax
−
A
† = x
′
−
En effet, on devrait avoir
AA
† = IA A σA
† = − σ
soit AA σ = − σA, et il n’existe aucune matrice 2 × 2 unitaire anticommutant
avec les trois matrices σ i (exercice 19.6.7). Cela confirme que la correspondance se fait bien entre SL(2, C) et le groupe de Lorentz connexe L
↑
+ .A i n s i
que nous le montrerons explicitement d’ici peu, les deux types de spineur de
Weyl, χ et ϕ, sont reliés par inversion d’espace. Rappelons leur loi de transformation
χ → χ
′ = Aχ
ϕ → ϕ
′ =(A
† )
−1 ϕ
(19.92)
Insistons sur le fait que les lois de transformation par rotation sont identiques :
si A ∈ SU(2), A =(A
† )
−1 , χ et ϕ décrivent tous deux des spins 1/2.
Nous avons maintenant mis en place tous les ingrédients nécessaires pour
construire l’équation de Dirac. Partant d’une particule de masse m initialement au repos décrite par un spineur de Pauli ξ = χ ou ξ = ϕ,n o u sl u i
appliquons un boost de rapidité η dans la direction ˆ
x 3 . Son énergie et son
impulsion sont données par E = m cosh η et p 3 = m sinh η.C o m p t et e n ud e
(19.89) et (19.91)
χ(p 3 )=exp
1
2
ησ 3
ξϕ (p 3 )=exp
−
1
2
ησ 3
ξ
Eliminant ξ entre ces deux équations permet de relier ϕ(p 3 ) et χ(p 3 )
ϕ(p 3 )=e
−ησ3 χ(p 3 )
(19.93)
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cela n’est plus vrai pour une transformation de Lorentz, car
exp
1
2
ηη σ · ˆ
n
†
−1
=exp
−
1
2
ηη σ · ˆ
n
soit ϕ → ϕ
′ =exp
−
1
2
ηη σ · ˆ
n
ϕ
(19.91)
On observe que le passage de (19.89) à (19.91) correspond à ˆ
n →− ˆ
n,e tl e
passage de A à (A
† )
−1 est relié à l’inversion d’espace, ou opération parité :
l’opération parité commute avec les rotations, mais pas avec les boosts. Observons également que dans (19.20), x
−
= σ 0 x
0 + σ · x, et qu’une inversion
d’espace x →− x transforme
x
−
→ x
′
−
= σ 0 x
0 − σ · x
Mais il n’existe aucune matrice A ∈ SL(2, C) telle que
Ax
−
A
† = x
′
−
En effet, on devrait avoir
AA
† = IA A σA
† = − σ
soit AA σ = − σA, et il n’existe aucune matrice 2 × 2 unitaire anticommutant
avec les trois matrices σ i (exercice 19.6.7). Cela confirme que la correspondance se fait bien entre SL(2, C) et le groupe de Lorentz connexe L
↑
+ .A i n s i
que nous le montrerons explicitement d’ici peu, les deux types de spineur de
Weyl, χ et ϕ, sont reliés par inversion d’espace. Rappelons leur loi de transformation
χ → χ
′ = Aχ
ϕ → ϕ
′ =(A
† )
−1 ϕ
(19.92)
Insistons sur le fait que les lois de transformation par rotation sont identiques :
si A ∈ SU(2), A =(A
† )
−1 , χ et ϕ décrivent tous deux des spins 1/2.
Nous avons maintenant mis en place tous les ingrédients nécessaires pour
construire l’équation de Dirac. Partant d’une particule de masse m initialement au repos décrite par un spineur de Pauli ξ = χ ou ξ = ϕ,n o u sl u i
appliquons un boost de rapidité η dans la direction ˆ
x 3 . Son énergie et son
impulsion sont données par E = m cosh η et p 3 = m sinh η.C o m p t et e n ud e
(19.89) et (19.91)
χ(p 3 )=exp
1
2
ησ 3
ξϕ (p 3 )=exp
−
1
2
ησ 3
ξ
Eliminant ξ entre ces deux équations permet de relier ϕ(p 3 ) et χ(p 3 )
ϕ(p 3 )=e
−ησ3 χ(p 3 )
(19.93)