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Physique quantique : Exercices et applications
On note que cette loi de transformation n’est pas unitaire, contrairement à
(19.88) : elle ne conserve pas le carré de la norme χ
2 = |χ 1 |
2 + |χ 2 |
2 .D a n s
une transformation de Lorentz générale, la loi de transformation des spineurs
est χ → χ
′ = Aχ,o ùA ∈ SL(2, C).
Soit A ∈ SL(2, C) : on appelle automorphisme du groupe SL(2, C), une correspondance bijective A ↔ B où B ∈ SL(2, C) qui respecte la loi de groupe :
si A 1 ↔ B 1 et A 2 ↔ B 2 ,a l o r sA 1 A 2 ↔ B 1 B 2 . Un exemple d’automorphisme
de ce type est donné par la correspondance
A ↔ B =(A
T )
−1
En effet
[(A 1 A 2 )
T ]
−1 =[A
T
2 A
T
1 ]
−1 =(A
T
1 )
−1 (A
T
2 )
−1
On montre alors facilement (exercice 19.6.7) que A et (A
T )
−1 sont reliés par
la transformation de similarité
(A
T )
−1 = ζAζ
−1 =
0 −1
10
A
01
−10
ζ = −iσ 2 représente une rotation de π autour de l’axe ˆ
x 2 .U na u t r ea u t o -
morphisme, celui que nous allons utiliser, est donné par la correspondance
A ↔ B =(A
† )
−1 .S iA est donné par (19.21), nous avons
(A
† )
−1 =
δ
∗ −γ
∗
−β
∗ α
∗
(19.90)
Dans ce cas (exercice 19.6.7), il n’existe pas de matrice
5 ζ telle que (A
† )
−1 =
ζAζ
−1 : A et (A
† )
−1 ne sont pas reliés par une transformation de similarité.
Par définition, les spineurs χ se tranforment suivant χ → χ
′ = Aχ,e tn o u s
allons introduire un second type de spineur de Weyl noté ϕ qui se transforme
suivant ϕ → ϕ
′ =(A
† )
−1 ϕ.L o r s q u eA est unitaire, (A
† )
−1 = A,e tdans une
rotation les deux types de spineur ont la même loi de transformation.M a i s
5. Un autre automorphisme de SL(2, C) est A ↔ A ∗ et comme
(A
† )
−1 =
(A
T )
−1
∗
A ∗ est relié à (A † ) −1 par une transformation de similarité
A
∗ = ζ (A
† )
−1 ζ
−1
Dans les livres de théorie des champs quantiques, et en particulier dans ceux qui traitent de
la supersymétrie, on utilise A ∗ plutôt que (A † ) −1 et on définit des spineurs “non pointés"
χ et des spineurs “pointés" ˆ
ϕ qui se transforment suivant
χα → χ
′
α = A αβ χ β
ˆ
ϕ ˙
α → ˆ
ϕ
′
˙
α = A
∗
˙
α ˙
β
ˆ
ϕ ˙
β
Physique quantique : Exercices et applications
On note que cette loi de transformation n’est pas unitaire, contrairement à
(19.88) : elle ne conserve pas le carré de la norme χ
2 = |χ 1 |
2 + |χ 2 |
2 .D a n s
une transformation de Lorentz générale, la loi de transformation des spineurs
est χ → χ
′ = Aχ,o ùA ∈ SL(2, C).
Soit A ∈ SL(2, C) : on appelle automorphisme du groupe SL(2, C), une correspondance bijective A ↔ B où B ∈ SL(2, C) qui respecte la loi de groupe :
si A 1 ↔ B 1 et A 2 ↔ B 2 ,a l o r sA 1 A 2 ↔ B 1 B 2 . Un exemple d’automorphisme
de ce type est donné par la correspondance
A ↔ B =(A
T )
−1
En effet
[(A 1 A 2 )
T ]
−1 =[A
T
2 A
T
1 ]
−1 =(A
T
1 )
−1 (A
T
2 )
−1
On montre alors facilement (exercice 19.6.7) que A et (A
T )
−1 sont reliés par
la transformation de similarité
(A
T )
−1 = ζAζ
−1 =
0 −1
10
A
01
−10
ζ = −iσ 2 représente une rotation de π autour de l’axe ˆ
x 2 .U na u t r ea u t o -
morphisme, celui que nous allons utiliser, est donné par la correspondance
A ↔ B =(A
† )
−1 .S iA est donné par (19.21), nous avons
(A
† )
−1 =
δ
∗ −γ
∗
−β
∗ α
∗
(19.90)
Dans ce cas (exercice 19.6.7), il n’existe pas de matrice
5 ζ telle que (A
† )
−1 =
ζAζ
−1 : A et (A
† )
−1 ne sont pas reliés par une transformation de similarité.
Par définition, les spineurs χ se tranforment suivant χ → χ
′ = Aχ,e tn o u s
allons introduire un second type de spineur de Weyl noté ϕ qui se transforme
suivant ϕ → ϕ
′ =(A
† )
−1 ϕ.L o r s q u eA est unitaire, (A
† )
−1 = A,e tdans une
rotation les deux types de spineur ont la même loi de transformation.M a i s
5. Un autre automorphisme de SL(2, C) est A ↔ A ∗ et comme
(A
† )
−1 =
(A
T )
−1
∗
A ∗ est relié à (A † ) −1 par une transformation de similarité
A
∗ = ζ (A
† )
−1 ζ
−1
Dans les livres de théorie des champs quantiques, et en particulier dans ceux qui traitent de
la supersymétrie, on utilise A ∗ plutôt que (A † ) −1 et on définit des spineurs “non pointés"
χ et des spineurs “pointés" ˆ
ϕ qui se transforment suivant
χα → χ
′
α = A αβ χ β
ˆ
ϕ ˙
α → ˆ
ϕ
′
˙
α = A
∗
˙
α ˙
β
ˆ
ϕ ˙
β