19. Physique quantique relativiste
833
est un courant conservé (exercice 19.6.6)
∂ t ρ +
∇· j = ∂ µ j
µ =0
(19.85)
On remarquera le signe + devant
∇· j. Cependant, la densité ρ n’est pas définie
positive et on ne peut pas interpréter ψ comme une amplitude de probabilité.
En fait, ψ doit être considéré comme un champ classique, qu’il est nécessaire de
quantifier suivant la procédure utilisée pour le champ électromagnétique. Dans
le cadre d’une telle théorie des champs quantiques, ψ devient un opérateur de
champ, qui crée et annihile des particules. On montre que ces particules sont
de spin zéro : l’équation de Klein-Gordon décrit des particules de spin zéro.
En 1928, et en suivant des arguments dont nous savons aujourd’hui qu’ils
ne sont pas convaincants, Dirac fut capable de construire l’équation d’onde
relativiste qui porte son nom. L’équation de Dirac va un peu plus loin que celle
de Klein-Gordon en tant qu’équation d’onde pour une particule quantique :
elle donne une excellente approximation tant que le potentiel varie peu sur une
distance de l’ordre de 1/m (/mc en rétablissant et c), la longueur d’onde
Compton de la particule. Mais cette interprétation comme équation d’onde
à une particule ne peut être maintenue de façon complètement cohérente.
Comme dans le cas de l’équation de Klein-Gordon, il faut interpréter ψ non
pas comme une fonction d’onde, mais comme un champ classique qu’il est
nécessaire de quantifier (section 19.5). Dans ce cadre, l’équation de Dirac
décrit correctement des particules de spin 1/2.
Pour construire l’équation de Dirac, revenons à l’équation (19.23). Dans le
cas d’une rotation de θ autour d’un axe ˆ
n,lamatriceA s’écrit (exercice 7.5.3)
A =exp
−
i
2
θ( σ · ˆ
n)
= I cos
θ
2
− i σ · ˆ
n sin
θ
2
(19.86)
Nous avons écrit l’expression d’un boost de rapidité η suivant ˆ
x 3 en (19.27),
et il est immédiat de généraliser à un boost suivant ˆ
n
A =exp
1
2
ηη σ · ˆ
n
= I cosh
η
2
+ σ · ˆ
n sinh
η
2
(19.87)
où le changement de signe de η a pour origine le passage du point de vue
passif au point de vue actif. Un spineur de Pauli χ est par définition un
vecteur de composantes (χ 1 ,χ 2 ) dans un espace complexe à deux dimensions
qui se transforme par rotation comme un spin 1/2
χ → χ
′ =exp
−
i
2
θ ( σ · ˆ
n)
χ
(19.88)
Un spineur de Weyl est un spineur qui se transforme par rotation comme un
spineur de Pauli et dans un boost (19.87) comme
χ → χ
′ =exp
1
2
ηη σ · ˆ
n
χ
(19.89)
833
est un courant conservé (exercice 19.6.6)
∂ t ρ +
∇· j = ∂ µ j
µ =0
(19.85)
On remarquera le signe + devant
∇· j. Cependant, la densité ρ n’est pas définie
positive et on ne peut pas interpréter ψ comme une amplitude de probabilité.
En fait, ψ doit être considéré comme un champ classique, qu’il est nécessaire de
quantifier suivant la procédure utilisée pour le champ électromagnétique. Dans
le cadre d’une telle théorie des champs quantiques, ψ devient un opérateur de
champ, qui crée et annihile des particules. On montre que ces particules sont
de spin zéro : l’équation de Klein-Gordon décrit des particules de spin zéro.
En 1928, et en suivant des arguments dont nous savons aujourd’hui qu’ils
ne sont pas convaincants, Dirac fut capable de construire l’équation d’onde
relativiste qui porte son nom. L’équation de Dirac va un peu plus loin que celle
de Klein-Gordon en tant qu’équation d’onde pour une particule quantique :
elle donne une excellente approximation tant que le potentiel varie peu sur une
distance de l’ordre de 1/m (/mc en rétablissant et c), la longueur d’onde
Compton de la particule. Mais cette interprétation comme équation d’onde
à une particule ne peut être maintenue de façon complètement cohérente.
Comme dans le cas de l’équation de Klein-Gordon, il faut interpréter ψ non
pas comme une fonction d’onde, mais comme un champ classique qu’il est
nécessaire de quantifier (section 19.5). Dans ce cadre, l’équation de Dirac
décrit correctement des particules de spin 1/2.
Pour construire l’équation de Dirac, revenons à l’équation (19.23). Dans le
cas d’une rotation de θ autour d’un axe ˆ
n,lamatriceA s’écrit (exercice 7.5.3)
A =exp
−
i
2
θ( σ · ˆ
n)
= I cos
θ
2
− i σ · ˆ
n sin
θ
2
(19.86)
Nous avons écrit l’expression d’un boost de rapidité η suivant ˆ
x 3 en (19.27),
et il est immédiat de généraliser à un boost suivant ˆ
n
A =exp
1
2
ηη σ · ˆ
n
= I cosh
η
2
+ σ · ˆ
n sinh
η
2
(19.87)
où le changement de signe de η a pour origine le passage du point de vue
passif au point de vue actif. Un spineur de Pauli χ est par définition un
vecteur de composantes (χ 1 ,χ 2 ) dans un espace complexe à deux dimensions
qui se transforme par rotation comme un spin 1/2
χ → χ
′ =exp
−
i
2
θ ( σ · ˆ
n)
χ
(19.88)
Un spineur de Weyl est un spineur qui se transforme par rotation comme un
spineur de Pauli et dans un boost (19.87) comme
χ → χ
′ =exp
1
2
ηη σ · ˆ
n
χ
(19.89)