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Physique quantique : Exercices et applications
polarisation circulaire bien définie : λ =+ 1à un état de polarisation circulaire droite et λ = −1 à un état de polarisation circulaire gauche. Considérons
un photon d’impulsion parallèle à
o
p et décomposons sa polarisation sur les
vecteurs n i (p) orthogonaux à
o
p ;s o i t
o
p(φ)=
o
p
′ , le transformé par rotation de
φ autour de l’axe ˆ
x 3 . Les transformations du petit groupe de
o
p appliquées aux
vecteurs n i (p) donnent
n
′
1 (p)=n 1 (p)c o sφ − n 2 (p)s i nφ + α 1 p
n
′
2 (p)=n 1 (p)s i nφ + n 2 (p)c o sφ + α 2 p
(19.82)
où α 1 et α 2 sont des nombres complexes. Cette loi de transformation reflète le
fait que les vecteurs n i (p) ne sont pas des quadrivecteurs : à la transformation
de Lorentz s’ajoute en général une transformation de jauge : dans l’espace de
Fourier, la transformation A µ (x) → A µ (x)+∂ µ λ(x) se traduit par l’adjonction
d’un terme proprotionnel à p µ .
19.3 L’équation de Dirac
19.3.1 Construction de l’équation de Dirac
La relation entre l’énergie et l’impulsion pour une particule libre non relativiste est E =
p
2 /2m et l’équation d’onde pour cette particule se déduit du
principe de correspondance
E → i
∂
∂t
p →−i
∇
qui donne l’équation de Schrödinger pour une particule libre
i
∂ψ
∂t
= −
1
2m
∇
2 ψ
Pour écrire une équation d’onde covariante de Lorentz, c’est-à-dire une équation qui garde la même forme dans une transformation de Lorentz, on peut
essayer de partir de la relation relativiste E
2 =
p
2 + m
2 entre énergie et impulsion et appliquer le principe de correspondance, ce qui donne l’équation
suivante pour une hypothétique fonction d’onde ψ(t, , x)=ψ(x)
(∂
2
t −
∇
2 + m
2 )ψ =(∂
2 + m
2 )ψ =0
(19.83)
L’opérateur ∂
2 = ∂ µ ∂
µ = ∂
2
t −
∇
2 est le d’Alembertien. L’équation (19.83)
est appelée équation de Klein-Gordon. On montre à partir de (19.83) que le
courant j
µ défini par
j µ =(ρ, j)=ψ
∗ ∂ µ ψ − (∂ µ ψ)
∗ ψ
ρ = ψ
∗ ∂ t ψ − (∂ t ψ)
∗ ψ
j = ψ
∗
∇ψ − (
∇ψ)
∗ ψ
(19.84)