19. Physique quantique relativiste
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de sorte que W
2 (p)=−(C
2 + D
2 ).Laquan tité−W
2 (p) est un nombre positif
ou nul qui peut être arbitrairement grand. Cependant, il n’existe pas dans la
nature de particule de masse nulle dont le spin soit un nombre arbitraire,
qui pourrait même être arbitrairement grand. Nous allons donc imposer la
restriction W
2 (p)=0, ce qui implique en outre que W (p) · p =0et que W (p)
est parallèle à p : W (p)=Π ( p)p (noter que p µ =( 1 , 0, 0, −1) !). Un autre
argument en faveur du choix C = D =0est développé dans l’exercice 19.5.
Pour définir dans l’espace de Hilbert une base des états |[
o
p],λ à une
particule dans le cas de la masse nulle, nous choisirons comme opérateurs
compatibles P
µ et −W 3 (p)=J 3
P
µ |[
o
p],λ = p
µ |[
o
p],λ
J 3 |[p],λ = λ|[p],λ
(19.79)
Le nombre quantique λ est appelé hélicité : c’est la projection du spin sur
la direction de l’impulsion
p de la particule : comme p
µ =( 1 , 0, 0, 1),
p est
parallèle à l’axe ˆ
x 3 . La loi de transformation dans une rotation de φ autour
de ˆ
x 3 s’obtient par application de l’opérateur de rotation exp(−iφJ 3 )
e
−iφJ3 |[
o
p],λ = |[
o
p](φ),λ = e
−iλφ |[
o
p],λ
(19.80)
L’état |[
o
p],λ doit rester inchangé dans une rotation de 4π, ce qui implique
que λ soit entier ou demi-entier. Compte tenu des propriétés des matrices de
rotation, on peut récrire (19.80) sous la forme (voir l’équation (9.32))
e
−iφJ3 |[
o
p],λ = |[
o
p](φ),λ = |[
o
p],λD
(|λ|)
λλ (θ =0,φ)
La loi de transformation générale analogue de (19.69) se déduit de l’équation
précédente
U (a, A)|[p],λ = e
i(Ap)·a |[Ap],λ D
(|λ|)
λλ ([Ap]
−1 A[p])
(19.81)
Les équations (19.69) et (19.81) sont fondamentales pour l’étude relativiste
des collisions et des désintégrations de particules de spin non nul.
L’hélicité λ est invariante dans toute transformation de Lorentz : une particule de masse nulle garde toujours la même hélicité, et apparaît donc identique
à elle-même dans tous les référentiels d’inertie (en dehors de son énergie et
de son impulsion). On appelle s = |λ| le spin de la particule de masse nulle :
s =0 , 1/2, 1, 3/2 ... L’hélicité ne peut prendre que deux valeurs, λ = s et
λ = −s, mais si l’on se restreint aux transformations du groupe connexe, il
n’y a aucun moyen de passer de λ = s à λ = −s. Si les neutrinos, particules
de spin 1/2, avaient une masse nulle, les neutrinos auraient par définition
une hélicité λ = −1/2 et les antineutrinos une hélicité λ =1 /2. L’expérience
montre que la masse des neutrinos est non nulle, ce qui rend la situation plus
compliquée.
Les photons, particules de masse nulle et de spin 1, ont deux états d’hélicité : λ =+ 1et λ = −1. Ces deux états correspondent à des états de
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de sorte que W
2 (p)=−(C
2 + D
2 ).Laquan tité−W
2 (p) est un nombre positif
ou nul qui peut être arbitrairement grand. Cependant, il n’existe pas dans la
nature de particule de masse nulle dont le spin soit un nombre arbitraire,
qui pourrait même être arbitrairement grand. Nous allons donc imposer la
restriction W
2 (p)=0, ce qui implique en outre que W (p) · p =0et que W (p)
est parallèle à p : W (p)=Π ( p)p (noter que p µ =( 1 , 0, 0, −1) !). Un autre
argument en faveur du choix C = D =0est développé dans l’exercice 19.5.
Pour définir dans l’espace de Hilbert une base des états |[
o
p],λ à une
particule dans le cas de la masse nulle, nous choisirons comme opérateurs
compatibles P
µ et −W 3 (p)=J 3
P
µ |[
o
p],λ = p
µ |[
o
p],λ
J 3 |[p],λ = λ|[p],λ
(19.79)
Le nombre quantique λ est appelé hélicité : c’est la projection du spin sur
la direction de l’impulsion
p de la particule : comme p
µ =( 1 , 0, 0, 1),
p est
parallèle à l’axe ˆ
x 3 . La loi de transformation dans une rotation de φ autour
de ˆ
x 3 s’obtient par application de l’opérateur de rotation exp(−iφJ 3 )
e
−iφJ3 |[
o
p],λ = |[
o
p](φ),λ = e
−iλφ |[
o
p],λ
(19.80)
L’état |[
o
p],λ doit rester inchangé dans une rotation de 4π, ce qui implique
que λ soit entier ou demi-entier. Compte tenu des propriétés des matrices de
rotation, on peut récrire (19.80) sous la forme (voir l’équation (9.32))
e
−iφJ3 |[
o
p],λ = |[
o
p](φ),λ = |[
o
p],λD
(|λ|)
λλ (θ =0,φ)
La loi de transformation générale analogue de (19.69) se déduit de l’équation
précédente
U (a, A)|[p],λ = e
i(Ap)·a |[Ap],λ D
(|λ|)
λλ ([Ap]
−1 A[p])
(19.81)
Les équations (19.69) et (19.81) sont fondamentales pour l’étude relativiste
des collisions et des désintégrations de particules de spin non nul.
L’hélicité λ est invariante dans toute transformation de Lorentz : une particule de masse nulle garde toujours la même hélicité, et apparaît donc identique
à elle-même dans tous les référentiels d’inertie (en dehors de son énergie et
de son impulsion). On appelle s = |λ| le spin de la particule de masse nulle :
s =0 , 1/2, 1, 3/2 ... L’hélicité ne peut prendre que deux valeurs, λ = s et
λ = −s, mais si l’on se restreint aux transformations du groupe connexe, il
n’y a aucun moyen de passer de λ = s à λ = −s. Si les neutrinos, particules
de spin 1/2, avaient une masse nulle, les neutrinos auraient par définition
une hélicité λ = −1/2 et les antineutrinos une hélicité λ =1 /2. L’expérience
montre que la masse des neutrinos est non nulle, ce qui rend la situation plus
compliquée.
Les photons, particules de masse nulle et de spin 1, ont deux états d’hélicité : λ =+ 1et λ = −1. Ces deux états correspondent à des états de