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Physique quantique : Exercices et applications
ce qui montre que |α| =1et γ =0. La condition det A =1implique δ =1/α,
tandis que β est un nombre complexe arbitraire β = z ; par conséquent, les
matrices A du petit groupe de
o
p sont de la forme
A =
e
iφ/2
z
0 e
−iφ/2
(19.72)
Ces matrices engendrent un groupe euclidien à deux dimensions, le groupe
des déplacements du plan.
Examinons à présent les transformations infinitésimales du petit groupe :
|φ|≪1 et z = ε, |ε|≪1. Il est facile (exercice 19.5) de trouver les matrices
4 × 4Λcorrespondantes
Λ
µ
ν =
⎛
⎜
⎜
⎝
1 ε 1 ε 2 0
ε 1 1 φ −ε 1
ε 2 −φ 1 −ε 2
0 ε 1 ε 2 1
⎞
⎟
⎟
⎠
(19.73)
où ε 1 et ε 2 sont deux paramètres réels : ε 1 =( ε + ε
∗ )/2 et ε 2 = i(ε − ε
∗ )/2.
Cela donne la matrice antisymétrique ω µν (19.33), ω = gΛ
ω µν =
⎛
⎜
⎜
⎝
0 ε 1 ε 2 0
−ε 1 0 −φε 1
−ε 2 φ 0 ε 2
0 −ε 1 −ε 2 0
⎞
⎟
⎟
⎠
(19.74)
ce qui implique ω 01 = ω 13 = ε 1 , ω 02 = ω 23 = ε 2 et ω 12 = −φ. Une transformation infinitésimale U (A) s’écrit donc
U (A)=I +
i
2
ω µν J
µν = I + iε 1 (K 1 + J 2 )+iε 2 (K 2 − J 1 ) − iφJ 3 (19.75)
où les opérateurs J i et K i sont définis en (19.45). L’équation (19.75) suggère
d’introduire les opérateurs C et D
C = K 1 + J 2
D = K 2 − J 1
(19.76)
dont les relations de commutation entre eux et avec J 3 sont
[C, D]=0
[J 3 ,C]=iD
[J 3 ,D]=−iC
(19.77)
Les opérateurs C et D peuvent être diagonalisés simultanément. Les transformations U (A),o ùA appartient au petit groupe de p, vont se trouver considérablement simplifiées si l’on impose une restriction sur W (p).E ne ff e t ,l e
calcul des composantes de W (p), compte tenu de (19.58) et de p =(1, 0, 0, 1)
donne le résultat suivant
W 0 (p)=J 3
W 1 (p)=J 1 − K 2 = −D
W 3 (p)=−J 3
W 2 (p)=J 2 + K 1 = C
(19.78)
Physique quantique : Exercices et applications
ce qui montre que |α| =1et γ =0. La condition det A =1implique δ =1/α,
tandis que β est un nombre complexe arbitraire β = z ; par conséquent, les
matrices A du petit groupe de
o
p sont de la forme
A =
e
iφ/2
z
0 e
−iφ/2
(19.72)
Ces matrices engendrent un groupe euclidien à deux dimensions, le groupe
des déplacements du plan.
Examinons à présent les transformations infinitésimales du petit groupe :
|φ|≪1 et z = ε, |ε|≪1. Il est facile (exercice 19.5) de trouver les matrices
4 × 4Λcorrespondantes
Λ
µ
ν =
⎛
⎜
⎜
⎝
1 ε 1 ε 2 0
ε 1 1 φ −ε 1
ε 2 −φ 1 −ε 2
0 ε 1 ε 2 1
⎞
⎟
⎟
⎠
(19.73)
où ε 1 et ε 2 sont deux paramètres réels : ε 1 =( ε + ε
∗ )/2 et ε 2 = i(ε − ε
∗ )/2.
Cela donne la matrice antisymétrique ω µν (19.33), ω = gΛ
ω µν =
⎛
⎜
⎜
⎝
0 ε 1 ε 2 0
−ε 1 0 −φε 1
−ε 2 φ 0 ε 2
0 −ε 1 −ε 2 0
⎞
⎟
⎟
⎠
(19.74)
ce qui implique ω 01 = ω 13 = ε 1 , ω 02 = ω 23 = ε 2 et ω 12 = −φ. Une transformation infinitésimale U (A) s’écrit donc
U (A)=I +
i
2
ω µν J
µν = I + iε 1 (K 1 + J 2 )+iε 2 (K 2 − J 1 ) − iφJ 3 (19.75)
où les opérateurs J i et K i sont définis en (19.45). L’équation (19.75) suggère
d’introduire les opérateurs C et D
C = K 1 + J 2
D = K 2 − J 1
(19.76)
dont les relations de commutation entre eux et avec J 3 sont
[C, D]=0
[J 3 ,C]=iD
[J 3 ,D]=−iC
(19.77)
Les opérateurs C et D peuvent être diagonalisés simultanément. Les transformations U (A),o ùA appartient au petit groupe de p, vont se trouver considérablement simplifiées si l’on impose une restriction sur W (p).E ne ff e t ,l e
calcul des composantes de W (p), compte tenu de (19.58) et de p =(1, 0, 0, 1)
donne le résultat suivant
W 0 (p)=J 3
W 1 (p)=J 1 − K 2 = −D
W 3 (p)=−J 3
W 2 (p)=J 2 + K 1 = C
(19.78)