19. Physique quantique relativiste
829
Pour comprendre cette équation, rappelons que si x est un quadrivecteur
et A ∈ SL(2, C), le transformé x
′ de x par A est donné par x
′
−
= Ax
−
A
† .
La transformation A fait passer de p à p
′ = Ap (p
′
−
= Ap
−
A
† ), et [Ap] fait
passer de la tétrade [
o
p] àl at é t r a d e[Ap]. Par conséquent, [Ap]
−1 A[p] est une
rotation de Thomas-Wigner : partant d’une particule au repos, on retrouve
une particule au repos, mais les axes d’espace ont changé. La partie non
triviale réside dans le fait que les transformés An i (p) des vecteurs n i (p) de la
tétrade initiale [p] ne sont pas identiques aux vecteurs n i (Ap) de la tétrade
finale [Ap] : An i (p) = n i (Ap). Poursuivant le calcul et utilisant (19.68), nous
obtenons
U (a, A)|[p],s,s 3 = U (a, I)U ([Ap])|[
o
p],s,s
′
3 D
(s)
s
′
3 s3 ([Ap]
−1 A[p])
= U (a, I)|[Ap],s,s
′
3 D
(s)
s ′
3 s3 ([Ap]
−1 A[p])
et finalement
U (a, A)|[p],s,s 3 =exp[i(Ap) · a] |[Ap],s,s
′
3 D
(s)
s ′
3 ,s3 ([Ap]
−1 A[p])
(19.69)
ce qui résout le problème posé : l’équation (19.69) donne la loi de transformation de l’état |[p],s,s 3 quand on lui applique U (a, A).
19.2.4 Particules de masse nulle
Examinons à présent le cas p
2 =0 , c’est-à-dire celui des particules de
masse nulle m =0. Construisons un ensemble de deux vecteurs attachés à p
µ
en choisissant deux vecteurs de genre espace n 1 (p) et n 2 (p) orthogonaux à p
n
2
1 (p)=n
2
2 (p)=−1
n 1 (p) · n 2 (p)=0
p · n i (p)=0
(19.70)
Comme dans le cas des particules de masse non nulle, il sera utile de définir
un ensemble standard de trois vecteurs formé de
o
p et n i (
o
p) définis par
o
p =(1, 0, 0, 1) n 1 (
o
p)=(0, 1, 0, 0) n 2 (
o
p)=(0, 0, 1, 0)
(19.71)
Cherchons comme précédemment les transformations qui laissent invariant
o
p,
c’est-à-dire les transformations du petit groupe de
o
p.L am a t r i c e
o
p
−
est
o
p
−
= σ 0 + σ 3 =
20
00
et si A ∈ SL(2, C) est donnée par (19.21), alors
A
10
00
A
† =
|α|
2 αγ
∗
α
∗ γ |γ|
2
829
Pour comprendre cette équation, rappelons que si x est un quadrivecteur
et A ∈ SL(2, C), le transformé x
′ de x par A est donné par x
′
−
= Ax
−
A
† .
La transformation A fait passer de p à p
′ = Ap (p
′
−
= Ap
−
A
† ), et [Ap] fait
passer de la tétrade [
o
p] àl at é t r a d e[Ap]. Par conséquent, [Ap]
−1 A[p] est une
rotation de Thomas-Wigner : partant d’une particule au repos, on retrouve
une particule au repos, mais les axes d’espace ont changé. La partie non
triviale réside dans le fait que les transformés An i (p) des vecteurs n i (p) de la
tétrade initiale [p] ne sont pas identiques aux vecteurs n i (Ap) de la tétrade
finale [Ap] : An i (p) = n i (Ap). Poursuivant le calcul et utilisant (19.68), nous
obtenons
U (a, A)|[p],s,s 3 = U (a, I)U ([Ap])|[
o
p],s,s
′
3 D
(s)
s
′
3 s3 ([Ap]
−1 A[p])
= U (a, I)|[Ap],s,s
′
3 D
(s)
s ′
3 s3 ([Ap]
−1 A[p])
et finalement
U (a, A)|[p],s,s 3 =exp[i(Ap) · a] |[Ap],s,s
′
3 D
(s)
s ′
3 ,s3 ([Ap]
−1 A[p])
(19.69)
ce qui résout le problème posé : l’équation (19.69) donne la loi de transformation de l’état |[p],s,s 3 quand on lui applique U (a, A).
19.2.4 Particules de masse nulle
Examinons à présent le cas p
2 =0 , c’est-à-dire celui des particules de
masse nulle m =0. Construisons un ensemble de deux vecteurs attachés à p
µ
en choisissant deux vecteurs de genre espace n 1 (p) et n 2 (p) orthogonaux à p
n
2
1 (p)=n
2
2 (p)=−1
n 1 (p) · n 2 (p)=0
p · n i (p)=0
(19.70)
Comme dans le cas des particules de masse non nulle, il sera utile de définir
un ensemble standard de trois vecteurs formé de
o
p et n i (
o
p) définis par
o
p =(1, 0, 0, 1) n 1 (
o
p)=(0, 1, 0, 0) n 2 (
o
p)=(0, 0, 1, 0)
(19.71)
Cherchons comme précédemment les transformations qui laissent invariant
o
p,
c’est-à-dire les transformations du petit groupe de
o
p.L am a t r i c e
o
p
−
est
o
p
−
= σ 0 + σ 3 =
20
00
et si A ∈ SL(2, C) est donnée par (19.21), alors
A
10
00
A
† =
|α|
2 αγ
∗
α
∗ γ |γ|
2