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Physique quantique : Exercices et applications
n i (p) avec des composantes S i (p)
W (p)=m
3
i=1
S i (p) · n i (p)
mS i (p)=−W (p) · n i (p)
(19.63)
De (19.59), on déduit les relations de commutation des S i (p)
[S i (p),S j (p)] = iε ijk S k
(19.64)
Ces relations de commutation montrent que les S i (p) sont les générateurs
infinitésimaux d’un groupe SU(2) qui n’est autre que le petit groupe de p.
Compte tenu des propriétés générales des opérateurs de moment angulaire,
on observe que la somme
3
i=1
S
2
i (p)=−
W
2
m 2 = s(s +1)
(19.65)
où s est entier ou demi-entier : c’est le spin de la particule.
Un ensemble complet d’opérateurs compatibles est donné par P
µ ,
−W
2 /m
2 et l’un des S i (p), par exemple S 3 (p). Les valeurs propres de ces
opérateurs sont respectivement p
µ , s(s +1) et s 3 ,o ùs 3 est entier ou demientier suivant la valeur de s avec −s ≤ s 3 ≤ s. Une base des états à une
particule peut être formée des vecteurs |[p],s,s 3
P
µ |[p],s,s 3 = p
µ |[p],s,s 3
−
W
2
m 2 |[p],s,s 3 = s(s +1)|[p],s,s 3
S 3 (p)|[p],s,s 3 = s 3 |[p],s,s 3
(19.66)
Examinons les propriétés de transformation des états |[p],s,s 3 par application de U (a, A) : rappelons qu’à la transformation de Lorentz Λ correspond
une matrice A ∈ SL(2, C),etque[p] désigne la matrice de SL(2, C) qui transforme la tétrade [
o
p] (19.61) dans la tétrade [p] (19.62). Pour toute rotation
V ∈ SU(2) appliquée sur une particule au repos, nous avons la loi de transformation usuelle (9.26)
U (V )|[
o
p],s,s 3 = |[
o
p],s,s
′
3 D
(s)
s ′
3 s3 (V )
(19.67)
où D
(s)
s ′
3 s3 (V ) est un élément de la matrice de rotation correspondant au moment angulaire s e tàl ar o t a t i o nV . On en déduit l’action de U (a, A) sur un
état |[p],s,s 3 en écrivant d’abord
U (a, A)|[p],s,s 3 = U (a, I)U (A)|[p],s,s 3
= U (a, I)U ([Ap])U ([Ap]
−1 A[p])|[
o
p],s,s 3
(19.68)