19. Physique quantique relativiste
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commutent avec tous les générateurs du groupe de Poincaré ; on peut montrer
que ce sont les seuls invariants. Toute représentation irréductible du groupe
de Poincaré est donc étiquetée par les valeurs propres de P
2 et W
2 .N o u s
savons déjà que P
2 est le carré de la masse
P
2 |p = m
2 |p
et nous allons voir dans un instant que −W
2 /m
2 est le carré d’un spin : tous
les systèmes quantiques élémentaires sont caractérisés par leur masse et leur
spin. Si le système quantique est une particule, l’analyse de Wigner permet
de comprendre l’origine profonde de la masse et du spin des particules : ce
sont des propriétés liées à l’invariance par rapport au groupe de Poincaré.
Comme W commute avec P , W |p est encore un vecteur propre de P avec
la valeur propre p.AppelonsW (p) la restriction de W au sous-espace des états
de valeur propre p. Comme W (p) · p =0 , W (p) peut être développé sur une
base de vecteurs orthogonaux à p au sens de la métrique de Minkowski. A ce
point, il est nécessaire de faire la distinction entre deux cas : p
2 > 0 (m =0)
et p
2 =0(m=0). Nous supposerons aussi p
0 > 0,l ec a sp
0 < 0 (tout comme
le cas p
2 < 0) ne présentant pas d’intérêt physique.
19.2.3 Particules de masse non nulle
Dans ce cas, le petit groupe de p est le groupe des rotations, ce qui est
évident si la particule est au repos : p =( p
0 = m,
p =0 ) . Au lieu du groupe
de Lorentz, il est commode d’utiliser son groupe de revêtement universel
SL(2, C), et le petit groupe est donc SU(2). Nous écrirons donc U (A) au
lieu de U (Λ), A étant une des matrices de SL(2, C) correspondant à Λ.À
chaque quadrivecteur p
µ , on attache une transformation [p] ∈ SL(2, C) qui
transforme les quatre vecteurs de la base orthogonale suivante de l’espace de
Minkowski
[
o
p]={[p
0 = m,
p =0],n 1 (
o
p)=ˆ x 1 ,n 2 (
o
p)=ˆ x 2 ,n 3 (
o
p)=ˆ x 3 }
(19.60)
dans les quatre vecteurs de la base
[p]={[p
0 ,, p],n 1 (p),n 2 (p),n 3 (p)}
(19.61)
où les n i (p) sont trois quadrivecteurs du genre espace (n
2
i (p) < 0)v é r i fi a n t
n i (p) · n j (p)=−δ ij
p · n i (p)=0
(19.62)
L’ensemble des 4 vecteurs [p] est appelé tétrade. Afin de ne pas alourdir inutilement les notations, nous utilisons la notation [p] pour désigner àl af o i sla
tétrade [p] et la transformation de SL(2, C) qui fait passer de la tétrade [
o
p] à
[p]. Comme W (p) est orthogonal à p, on peut le décomposer sur les vecteurs
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commutent avec tous les générateurs du groupe de Poincaré ; on peut montrer
que ce sont les seuls invariants. Toute représentation irréductible du groupe
de Poincaré est donc étiquetée par les valeurs propres de P
2 et W
2 .N o u s
savons déjà que P
2 est le carré de la masse
P
2 |p = m
2 |p
et nous allons voir dans un instant que −W
2 /m
2 est le carré d’un spin : tous
les systèmes quantiques élémentaires sont caractérisés par leur masse et leur
spin. Si le système quantique est une particule, l’analyse de Wigner permet
de comprendre l’origine profonde de la masse et du spin des particules : ce
sont des propriétés liées à l’invariance par rapport au groupe de Poincaré.
Comme W commute avec P , W |p est encore un vecteur propre de P avec
la valeur propre p.AppelonsW (p) la restriction de W au sous-espace des états
de valeur propre p. Comme W (p) · p =0 , W (p) peut être développé sur une
base de vecteurs orthogonaux à p au sens de la métrique de Minkowski. A ce
point, il est nécessaire de faire la distinction entre deux cas : p
2 > 0 (m =0)
et p
2 =0(m=0). Nous supposerons aussi p
0 > 0,l ec a sp
0 < 0 (tout comme
le cas p
2 < 0) ne présentant pas d’intérêt physique.
19.2.3 Particules de masse non nulle
Dans ce cas, le petit groupe de p est le groupe des rotations, ce qui est
évident si la particule est au repos : p =( p
0 = m,
p =0 ) . Au lieu du groupe
de Lorentz, il est commode d’utiliser son groupe de revêtement universel
SL(2, C), et le petit groupe est donc SU(2). Nous écrirons donc U (A) au
lieu de U (Λ), A étant une des matrices de SL(2, C) correspondant à Λ.À
chaque quadrivecteur p
µ , on attache une transformation [p] ∈ SL(2, C) qui
transforme les quatre vecteurs de la base orthogonale suivante de l’espace de
Minkowski
[
o
p]={[p
0 = m,
p =0],n 1 (
o
p)=ˆ x 1 ,n 2 (
o
p)=ˆ x 2 ,n 3 (
o
p)=ˆ x 3 }
(19.60)
dans les quatre vecteurs de la base
[p]={[p
0 ,, p],n 1 (p),n 2 (p),n 3 (p)}
(19.61)
où les n i (p) sont trois quadrivecteurs du genre espace (n
2
i (p) < 0)v é r i fi a n t
n i (p) · n j (p)=−δ ij
p · n i (p)=0
(19.62)
L’ensemble des 4 vecteurs [p] est appelé tétrade. Afin de ne pas alourdir inutilement les notations, nous utilisons la notation [p] pour désigner àl af o i sla
tétrade [p] et la transformation de SL(2, C) qui fait passer de la tétrade [
o
p] à
[p]. Comme W (p) est orthogonal à p, on peut le décomposer sur les vecteurs