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Physique quantique : Exercices et applications
L’objectif de l’analyse de Wigner est de caractériser les représentations
unitaires irréductibles du groupe de Poincaré. Rappelons notre analyse du
groupe des rotations : nous avons étiqueté les représentations irréductibles
par l’invariant
J
2 = j(j +1) qui commute avec tous les générateurs J i des
rotations : [
J
2 ,J i ]=0. Nous allons procéder de façon similaire avec le groupe
de Poincaré, en recherchant les combinaisons de générateurs qui commutent
avec l’ensemble des P
µ et des J
µν . Le point de départ de l’analyse de Wigner
est l’identification des transformations de Lorentz qui laissent invariant le
quadrivecteur p
µ : ces transformations forment un sous-groupe du groupe de
Lorentz appelé petit groupe de p. L’invariance de p implique, compte tenu de
(19.54)
i ω µν [I
µν ]
α
β p
β = ω µν
g
µα δ
ν
β − g
να δ
µ
β
p
β =2ω αµ p
µ =0
ce qui montre que ω µν vérifie ω µν p
ν =0 . La solution de cette équation pour
ω µν est de la forme
ω µν = ε µνρσ h
ρ p
σ
(19.55)
où ε µνρσ est le tenseur d’ordre 4 complètement antisymétrique avec ε 0123 =1,
et h un quadrivecteur arbitraire qui n’est pas parallèle à p. Ainsi, les transformations U (0, Λ) = U (Λ(p)) qui laissent p invariant sont de la forme
U (Λ(p)) = exp
i
2
ε µνρσ J
µν h
ρ p
σ
(19.56)
Compte tenu de (19.49), nous pouvons écrire
U (Λ(p))|p = e
−iW ·h |p
(19.57)
où l’opérateur W µ a été défini par
W µ = −
1
2
ε µνρσ J
νρ P
σ
(19.58)
Par construction, W µ est un (pseudo) quadrivecteur. Comme les indices ν, ρ
et σ sont différents, les opérateurs J
µν et P
σ commutent dans (19.58). Les
relations de commutation
[W µ ,P ν ]=0
[J µν ,W λ ]=i(g µλ W ν − g νλ W µ )
[W µ ,W ν ]=−iε µνρσ W
ρ P
σ
(19.59)
se déduisent aisément de (19.43) et (19.44) (exercice 19.4) ; on peut écrire
directement les deux premières équations, qui traduisent le fait que W µ est un
(pseudo) quadrivecteur se transformant comme P µ et en déduire la dernière.
Afin d’identifier les représentations irréductibles, cherchons les invariants
possibles : ce sont les produits scalaires P
2 = P µ P
µ et W
2 = W µ W
µ qui
Physique quantique : Exercices et applications
L’objectif de l’analyse de Wigner est de caractériser les représentations
unitaires irréductibles du groupe de Poincaré. Rappelons notre analyse du
groupe des rotations : nous avons étiqueté les représentations irréductibles
par l’invariant
J
2 = j(j +1) qui commute avec tous les générateurs J i des
rotations : [
J
2 ,J i ]=0. Nous allons procéder de façon similaire avec le groupe
de Poincaré, en recherchant les combinaisons de générateurs qui commutent
avec l’ensemble des P
µ et des J
µν . Le point de départ de l’analyse de Wigner
est l’identification des transformations de Lorentz qui laissent invariant le
quadrivecteur p
µ : ces transformations forment un sous-groupe du groupe de
Lorentz appelé petit groupe de p. L’invariance de p implique, compte tenu de
(19.54)
i ω µν [I
µν ]
α
β p
β = ω µν
g
µα δ
ν
β − g
να δ
µ
β
p
β =2ω αµ p
µ =0
ce qui montre que ω µν vérifie ω µν p
ν =0 . La solution de cette équation pour
ω µν est de la forme
ω µν = ε µνρσ h
ρ p
σ
(19.55)
où ε µνρσ est le tenseur d’ordre 4 complètement antisymétrique avec ε 0123 =1,
et h un quadrivecteur arbitraire qui n’est pas parallèle à p. Ainsi, les transformations U (0, Λ) = U (Λ(p)) qui laissent p invariant sont de la forme
U (Λ(p)) = exp
i
2
ε µνρσ J
µν h
ρ p
σ
(19.56)
Compte tenu de (19.49), nous pouvons écrire
U (Λ(p))|p = e
−iW ·h |p
(19.57)
où l’opérateur W µ a été défini par
W µ = −
1
2
ε µνρσ J
νρ P
σ
(19.58)
Par construction, W µ est un (pseudo) quadrivecteur. Comme les indices ν, ρ
et σ sont différents, les opérateurs J
µν et P
σ commutent dans (19.58). Les
relations de commutation
[W µ ,P ν ]=0
[J µν ,W λ ]=i(g µλ W ν − g νλ W µ )
[W µ ,W ν ]=−iε µνρσ W
ρ P
σ
(19.59)
se déduisent aisément de (19.43) et (19.44) (exercice 19.4) ; on peut écrire
directement les deux premières équations, qui traduisent le fait que W µ est un
(pseudo) quadrivecteur se transformant comme P µ et en déduire la dernière.
Afin d’identifier les représentations irréductibles, cherchons les invariants
possibles : ce sont les produits scalaires P
2 = P µ P
µ et W
2 = W µ W
µ qui