19. Physique quantique relativiste
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dimension finie : il ne faut pas confondre les générateurs J
µν agissant dans l’espace des états et les générateurs I
µν agissant dans l’espace-temps à quatre dimensions. Le boost fini de rapidité η (19.50) s’écrit aussi Λ
(1)
B (η)=exp(iηI
01 ).
Une rotation Λ
(3)
R (θ) d’angle θ autour de ˆ
x 3 est représentée par la matrice
Λ
(3)
R (θ)=exp(iθI
12 )=
⎛
⎜
⎜
⎝
10
0 0
0c o sθ − sin θ 0
0s i nθ cos θ 0
00
0 1
⎞
⎟
⎟
⎠
et la rotation infinitésimale d’angle θ = ω s’exprime en fonction du générateur
infinitésimal I
12
Λ
(3)
R (ω)=I + iωI
12 = I + ω
⎛
⎜
⎜
⎝
00 0 0
00−10
01 0 0
00 0 0
⎞
⎟
⎟
⎠
(19.52)
Les autres générateurs I
0i et I
ij se déduisent de (19.51) et (19.52) par permutation circulaire et l’ensemble des résultats est résumé ci-dessous
iI
01 =
⎛
⎜
⎜
⎝
0100
1000
0000
0000
⎞
⎟
⎟
⎠
iI
02 =
⎛
⎜
⎜
⎝
0010
0000
1000
0000
⎞
⎟
⎟
⎠
iI
03 =
⎛
⎜
⎜
⎝
0001
0000
0000
1000
⎞
⎟
⎟
⎠
iI
12 =
⎛
⎜
⎜
⎝
0 000
00−10
0 100
0 000
⎞
⎟
⎟
⎠
iI
23 =
⎛
⎜
⎜
⎝
000 0
000 0
000−1
001 0
⎞
⎟
⎟
⎠
iI
31 =
⎛
⎜
⎜
⎝
000 0
000 1
000 0
0 −100
⎞
⎟
⎟
⎠
(19.53)
On vérifie par inspection que l’expression générale des éléments de matrice de
I
µν est donnée par
i[I
µν ]
α
β = g
µα δ
ν
β − g
να δ
µ
β
(19.54)
Il suffit bien sûr de le vérifier pour I
01 et I
12 par exemple, les autre matrices
s’en déduisant par permutation circulaire. En suivant (19.45) et(19.46), nous
pouvons définir les générateurs infinitésimaux des rotations (J i )etdesboost s
(K i )
J 1 = −I
23
J 2 = −I
31
J 3 = −I
12
K 1 = −I
01
K 2 = −I
02
K 3 = −I
03
Ainsi que nous l’avons déjà observé, les générateurs I
ij sont hermitiens,
contrairement aux générateurs I
0i ; ils obéissent aux relations de commutation (19.47). Une transformation de Lorentz générale s’écrira comme
exp(iω µν I
µν /2) : voir la note 4.