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Physique quantique : Exercices et applications
19.2.2 États à une particule : masse et spin
Comme nous l’avons mentionné, notre objectif est de déterminer la loi de
transformation des systèmes quantiques élémentaires sous une transformation
U (a, Λ) du groupe de Poincaré. Un système quantique élémentaire est par définition un système stable en l’absence de toute influence extérieure : particule
élémentaire comme l’électron ou le proton (mais pas le neutron !), atome ou
noyau atomique stables, etc. Par commodité, nous appellerons simplement un
tel système une “particule". Nous choisirons comme base des états à une particule des états de quadri-impulsion bien définie p
µ . Ceci est possible car les
4 générateurs infinitésimaux P
µ commutent (voir (19.44)), et on peut donc
trouver des vecteurs propres |p
∼
communs à ces 4 générateurs
P
µ |p
∼
= p
µ |p
∼
(19.49)
Dans la suite de cette section, nous allégerons les notations en notant les quadrivecteurs p au lieu de p
∼
: l’équation (19.49) devient simplement P
µ |p =
p
µ |p. Ainsi que nous l’avons observé au § 19.1.1, les transformations de
Lorentz spéciales définies par (19.1) ou (19.2) sont des transformations
passives. Par souci de cohérence avec les conventions utilisées dans les
chapitres 7 à 9, nous allons adopter le point de vue actif, où un boost dans
la direction ˆ
x 1 par exemple transforme une particule de masse m au repos
( p =0 ) en une particule d’énergie m cosh η et d’impulsion p
1 = m sinh η.S i
l’impulsion initiale est (p
0 ,p
1 ,p
2 ,p
3 ), cette transformation de Lorentz s’écrit
⎛
⎜
⎜
⎝
p
′ 0
p
′ 1
p
′ 2
p
′ 3
⎞
⎟
⎟
⎠ =
⎛
⎜
⎜
⎝
cosh η sinh η 00
sinh η cosh η 00
00 1 0
00 0 1
⎞
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎝
p
0
p
1
p
2
p
3
⎞
⎟
⎟
⎠
(19.50)
On note le signe (+) devant sinh η au lieu du signe (−) de (19.2), ce qui
correspond au passage du point de vue passif au point de vue actif. Examinons
les boosts infinitésimaux en commençant par un boost Λ
(1)
B (ω) de rapidité
infinitésimale η = ω, |ω|≪1,s u i v a n tˆ x 1
Λ
(1)
B (ω)=I + iωI
01 = I + ω
⎛
⎜
⎜
⎝
0100
1000
0000
0000
⎞
⎟
⎟
⎠
(19.51)
ce qui définit le générateur infinitésimal I
01 . Nous avons utilisé la notation
I
µν pour les générateurs infinitésimaux, car il s’agit maintenant des générateurs dans l’espace de Minkowski à quatre dimensions, et non dans l’espace
de Hilbert des états. Le générateur I
01 n’est pas hermitien, car il n’existe pas
de représentation unitaire du groupe de Lorentz dans un espace vectoriel de
Physique quantique : Exercices et applications
19.2.2 États à une particule : masse et spin
Comme nous l’avons mentionné, notre objectif est de déterminer la loi de
transformation des systèmes quantiques élémentaires sous une transformation
U (a, Λ) du groupe de Poincaré. Un système quantique élémentaire est par définition un système stable en l’absence de toute influence extérieure : particule
élémentaire comme l’électron ou le proton (mais pas le neutron !), atome ou
noyau atomique stables, etc. Par commodité, nous appellerons simplement un
tel système une “particule". Nous choisirons comme base des états à une particule des états de quadri-impulsion bien définie p
µ . Ceci est possible car les
4 générateurs infinitésimaux P
µ commutent (voir (19.44)), et on peut donc
trouver des vecteurs propres |p
∼
communs à ces 4 générateurs
P
µ |p
∼
= p
µ |p
∼
(19.49)
Dans la suite de cette section, nous allégerons les notations en notant les quadrivecteurs p au lieu de p
∼
: l’équation (19.49) devient simplement P
µ |p =
p
µ |p. Ainsi que nous l’avons observé au § 19.1.1, les transformations de
Lorentz spéciales définies par (19.1) ou (19.2) sont des transformations
passives. Par souci de cohérence avec les conventions utilisées dans les
chapitres 7 à 9, nous allons adopter le point de vue actif, où un boost dans
la direction ˆ
x 1 par exemple transforme une particule de masse m au repos
( p =0 ) en une particule d’énergie m cosh η et d’impulsion p
1 = m sinh η.S i
l’impulsion initiale est (p
0 ,p
1 ,p
2 ,p
3 ), cette transformation de Lorentz s’écrit
⎛
⎜
⎜
⎝
p
′ 0
p
′ 1
p
′ 2
p
′ 3
⎞
⎟
⎟
⎠ =
⎛
⎜
⎜
⎝
cosh η sinh η 00
sinh η cosh η 00
00 1 0
00 0 1
⎞
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎝
p
0
p
1
p
2
p
3
⎞
⎟
⎟
⎠
(19.50)
On note le signe (+) devant sinh η au lieu du signe (−) de (19.2), ce qui
correspond au passage du point de vue passif au point de vue actif. Examinons
les boosts infinitésimaux en commençant par un boost Λ
(1)
B (ω) de rapidité
infinitésimale η = ω, |ω|≪1,s u i v a n tˆ x 1
Λ
(1)
B (ω)=I + iωI
01 = I + ω
⎛
⎜
⎜
⎝
0100
1000
0000
0000
⎞
⎟
⎟
⎠
(19.51)
ce qui définit le générateur infinitésimal I
01 . Nous avons utilisé la notation
I
µν pour les générateurs infinitésimaux, car il s’agit maintenant des générateurs dans l’espace de Minkowski à quatre dimensions, et non dans l’espace
de Hilbert des états. Le générateur I
01 n’est pas hermitien, car il n’existe pas
de représentation unitaire du groupe de Lorentz dans un espace vectoriel de