19. Physique quantique relativiste
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On peut se contenter de calculer les commutateurs [J 1 ,J 2 ], [J 1 ,K 2 ] et
[K 1 ,K 2 ] : les autres commutateurs s’en déduisent par permutation circulaire. Il faut souligner le signe moins dans la troisième équation (19.47). On
remarque que les générateurs des rotations J i commutent avec P
0 , l’opérateur énergie que l’on peut identifier au hamiltonien : ces générateurs sont
donc conservés, au contraire des générateurs K i des boosts qui ne commutent
pas avec le hamiltonien. Ceci n’est pas surprenant, car les boosts modifient
l’énergie.
Outre le signe moins, un point très important est visible dans la dernière
des relations (19.47) : le produit de deux transformations de Lorentz spéciales
n’est pas en général une transformation de Lorentz spéciale, mais la combinaison d’une telle transformation et d’une rotation. Considérons en effet le produit de deux transformations de Lorentz spéciales suivant les axes ˆ
x 1 et ˆ
x 2 ,de
rapidités respectives η 1 et η 2 ,avec|η 1 |, |η 2 |≪1 : U =exp(iη 2 K 2 )exp(iη 1 K 1 ).
Le calcul peut se faire par un développement limité à l’ordre 2 en η,m a i si l
est plus simple d’utiliser la formule de Baker-Campbell-Hausdorff pour deux
opérateurs A et B
exp A exp B =exp
B + A +
1
2
[B, A]+
1
12
[B, [B, A]] + ···
qui donne directement à l’ordre η
2
exp(iη 2 K 2 )exp(iη 1 K 1 )=exp
iη 1 K 1 + iη 2 K 2 +
1
2
η 1 η 2 J 3 + ···
La présence dans cette expression de l’opérateur de rotation J 3 montre que
le produit de deux transformations de Lorentz suivant des axes différents
contient une rotation, appelée rotation de Thomas (ou de Thomas-Wigner),
voir l’exercice 19.3.
Lorsque la translation a et la transformation de Lorentz Λ ne sont pas
infinitésimales, on peut écrire
4
U (a, Λ) = U (a, 0)U (0, Λ) = exp (ia µ P
µ )exp
i
2
ω µν J
µν
(19.48)
ou bien utiliser la décomposition de Λ en une transformation de Lorentz spéciale et une rotation et écrire U (a, Λ) comme un produit de 3 exponentielles.
4. En raison de la décomposition (19.25) de toute transformation de Lorentz comme
produit d’une rotation Λ R et d’un boost Λ B , il est toujours possible d’écrire
U (Λ) = U (Λ R )U (Λ B )
Bien que le résultat soit difficile à prouver, on montre que toute transformation de Lorentz
peut aussi s’écrire comme l’exponentielle d’un générateur infinitésimal, ce qui permet de
généraliser l’expression U (R)=e x p( −iθJ ˆ
n ), mais nous n’aurons pas à nous servir de cette
propriété.
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On peut se contenter de calculer les commutateurs [J 1 ,J 2 ], [J 1 ,K 2 ] et
[K 1 ,K 2 ] : les autres commutateurs s’en déduisent par permutation circulaire. Il faut souligner le signe moins dans la troisième équation (19.47). On
remarque que les générateurs des rotations J i commutent avec P
0 , l’opérateur énergie que l’on peut identifier au hamiltonien : ces générateurs sont
donc conservés, au contraire des générateurs K i des boosts qui ne commutent
pas avec le hamiltonien. Ceci n’est pas surprenant, car les boosts modifient
l’énergie.
Outre le signe moins, un point très important est visible dans la dernière
des relations (19.47) : le produit de deux transformations de Lorentz spéciales
n’est pas en général une transformation de Lorentz spéciale, mais la combinaison d’une telle transformation et d’une rotation. Considérons en effet le produit de deux transformations de Lorentz spéciales suivant les axes ˆ
x 1 et ˆ
x 2 ,de
rapidités respectives η 1 et η 2 ,avec|η 1 |, |η 2 |≪1 : U =exp(iη 2 K 2 )exp(iη 1 K 1 ).
Le calcul peut se faire par un développement limité à l’ordre 2 en η,m a i si l
est plus simple d’utiliser la formule de Baker-Campbell-Hausdorff pour deux
opérateurs A et B
exp A exp B =exp
B + A +
1
2
[B, A]+
1
12
[B, [B, A]] + ···
qui donne directement à l’ordre η
2
exp(iη 2 K 2 )exp(iη 1 K 1 )=exp
iη 1 K 1 + iη 2 K 2 +
1
2
η 1 η 2 J 3 + ···
La présence dans cette expression de l’opérateur de rotation J 3 montre que
le produit de deux transformations de Lorentz suivant des axes différents
contient une rotation, appelée rotation de Thomas (ou de Thomas-Wigner),
voir l’exercice 19.3.
Lorsque la translation a et la transformation de Lorentz Λ ne sont pas
infinitésimales, on peut écrire
4
U (a, Λ) = U (a, 0)U (0, Λ) = exp (ia µ P
µ )exp
i
2
ω µν J
µν
(19.48)
ou bien utiliser la décomposition de Λ en une transformation de Lorentz spéciale et une rotation et écrire U (a, Λ) comme un produit de 3 exponentielles.
4. En raison de la décomposition (19.25) de toute transformation de Lorentz comme
produit d’une rotation Λ R et d’un boost Λ B , il est toujours possible d’écrire
U (Λ) = U (Λ R )U (Λ B )
Bien que le résultat soit difficile à prouver, on montre que toute transformation de Lorentz
peut aussi s’écrire comme l’exponentielle d’un générateur infinitésimal, ce qui permet de
généraliser l’expression U (R)=e x p( −iθJ ˆ
n ), mais nous n’aurons pas à nous servir de cette
propriété.