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Physique quantique : Exercices et applications
a = ε et Λ=I + ̟. Afin de simplifier la discussion, nous nous limitons au
cas ε =0en renvoyant le cas général à l’exercice 19.2. Ecrivons
U (0, Λ) = U (Λ) = I +
i
2
ω αβ J
αβ
Si nous développons (19.41) au premier ordre en ω, le premier membre de
cette équation fait apparaître un commutateur
i
2
ω αβ [J
αβ ,J
στ ]
Pour évaluer le membre de droite, nous utilisons
(Λ
−1 )
σ
µ = δ
σ
µ − ̟
σ
µ = δ
σ
µ − g
σα ω αµ
ce qui donne pour le membre de droite de (19.41)
(Λ
−1 )
σ
µ (Λ
−1 )
τ
ν J
µν =
δ
σ
µ δ
τ
ν + δ
σ
µ ω βν g
βτ − δ
τ
ν ω αµ g
λσ
J
µν
= J
στ − ω αβ g
βτ J
ασ − ω αβ g
ασ J
βτ
Comme ω αβ est antisymétrique, il faut d’abord antisymétriser le coefficient
de ω αβ dans le membre de droite de l’équation précédente avant de pouvoir
procéder à l’identification dans les deux membres de l’équation. Cette antisymétrisation conduit à l’expression suivante du commutateur [J
αβ ,J
στ ]
i[J
αβ ,J
στ ]=g
βσ J
ατ − g
ασ J
βτ − g
βτ J
ασ + g
ατ J
βσ
(19.43)
On vérifie, comme il se doit, que le second membre de (19.43) est antisymétrique dans les échanges α ↔ β, σ ↔ τ et (αβ) ↔ (στ).C e sr e l a t i o n sd e
commutation sont complétées par celles des P
σ (exercice 19.2)
i[J
αβ ,P
σ ]=g
σβ P
α − g
σα P
β
[P
σ ,P
τ ]=0
(19.44)
La première ligne de (19.44) montre que P
µ se transforme comme un quadrivecteur. Pour faire le lien avec les résultats du chapitre 7 sur le moment
angulaire, définissons le vecteur tridimensionnel moment angulaire
J
J = {J 1 = −J
23 ,J 2 = −J
31 ,J 3 = −J
12 }
(19.45)
ainsi que le vecteur tridimensionnel boost
K = {K 1 = −J
01 ,K 2 = −J
02 ,K 3 = −J
03 }
(19.46)
On vérifie à partir de (19.43) les relations de commutation
[J l ,J m ]=iε lmp J p
[J l ,K m ]=iε lmp K p
[K l ,K m ]=−iε lmp J p
(19.47)