19. Physique quantique relativiste
821
mais, ainsi que nous l’avons souligné, J
στ ne peut pas être représenté par une
matrice unitaire dans un espace de dimension finie. Comme ω στ est antisymétrique, on peut toujours choisir J
στ antisymétrique
J
στ = −J
τσ
Pour déterminer les lois de transformation des générateurs infinitésimaux P
σ
et J
στ , nous allons examiner le produit
U (a, Λ) U (ε, I + ̟) U
−1 (a, Λ)
(19.37)
où a et Λ sont finis (non infinitésimaux). La loi de groupe (19.17) se traduit
par l’équation (19.33) tandis que l’inverse U
−1 (a, Λ) est donné par
U
−1 (a, Λ) = U (−Λ
−1 a, Λ
−1 )
(19.38)
Utilisons la loi de groupe (19.33) pour évaluler le produit (19.37)
U (a, Λ)U (ε, I + ̟)U
−1 (a, Λ) = U (Λε − Λ̟Λ
−1 a, Λ(I + ̟)Λ
−1 )
et développons le membre de droite de cette équation au premier ordre en ε
et ω en utilisant (19.35)
U (a, Λ)
1
2
ω στ J
στ + ε σ P
σ
U
−1 (a, Λ) =
1
2
X µν J
µν +
Λε − Λ̟Λ
−1 a
µ
P
µ
(19.39)
La matrice infinitésimale antisymétrique X µν correspondant à la transformation Λ̟Λ
−1 est donnée par
X = gΛ̟Λ
−1 =(Λ
T )
−1 ωΛ
−1
Cette matrice est manifestement antisymétrique, X
T = −X,e nr a i s o nd e
ω
T = −ω. En explicitant les indices, on écrit X µν
X µν =([Λ
T ]
−1 )
µ
σ ω στ (Λ
−1 )
τ
ν =(Λ
−1 )
σ
µ ω στ (Λ
−1 )
τ
ν
(19.40)
En identifiant le coefficient de ω στ dans les deux membres de (19.39) et en
utilisant la propriété d’antisymétrie X µν = −X νµ ,o no b t i e n t
U (a, Λ)J
στ U
−1 (a, Λ) = (Λ
−1 )
σ
µ (Λ
−1 )
τ
ν (J
µν − a
µ P
ν + a
ν P
µ )
(19.41)
L’identification du coefficient de ε σ donne la loi de transformation de P
σ
U (a, Λ)P
σ U
−1 (a, Λ) = (Λ
−1 )
σ
µ P
µ
(19.42)
Nous avons donc obtenu en (19.41) et (19.42) les lois de transformation des
générateurs infinitésimaux J
στ et P
σ . Les relations de commutation de ces
générateurs se déduisent de (19.41) et (19.42) en prenant a et Λ infinitésimaux,
821
mais, ainsi que nous l’avons souligné, J
στ ne peut pas être représenté par une
matrice unitaire dans un espace de dimension finie. Comme ω στ est antisymétrique, on peut toujours choisir J
στ antisymétrique
J
στ = −J
τσ
Pour déterminer les lois de transformation des générateurs infinitésimaux P
σ
et J
στ , nous allons examiner le produit
U (a, Λ) U (ε, I + ̟) U
−1 (a, Λ)
(19.37)
où a et Λ sont finis (non infinitésimaux). La loi de groupe (19.17) se traduit
par l’équation (19.33) tandis que l’inverse U
−1 (a, Λ) est donné par
U
−1 (a, Λ) = U (−Λ
−1 a, Λ
−1 )
(19.38)
Utilisons la loi de groupe (19.33) pour évaluler le produit (19.37)
U (a, Λ)U (ε, I + ̟)U
−1 (a, Λ) = U (Λε − Λ̟Λ
−1 a, Λ(I + ̟)Λ
−1 )
et développons le membre de droite de cette équation au premier ordre en ε
et ω en utilisant (19.35)
U (a, Λ)
1
2
ω στ J
στ + ε σ P
σ
U
−1 (a, Λ) =
1
2
X µν J
µν +
Λε − Λ̟Λ
−1 a
µ
P
µ
(19.39)
La matrice infinitésimale antisymétrique X µν correspondant à la transformation Λ̟Λ
−1 est donnée par
X = gΛ̟Λ
−1 =(Λ
T )
−1 ωΛ
−1
Cette matrice est manifestement antisymétrique, X
T = −X,e nr a i s o nd e
ω
T = −ω. En explicitant les indices, on écrit X µν
X µν =([Λ
T ]
−1 )
µ
σ ω στ (Λ
−1 )
τ
ν =(Λ
−1 )
σ
µ ω στ (Λ
−1 )
τ
ν
(19.40)
En identifiant le coefficient de ω στ dans les deux membres de (19.39) et en
utilisant la propriété d’antisymétrie X µν = −X νµ ,o no b t i e n t
U (a, Λ)J
στ U
−1 (a, Λ) = (Λ
−1 )
σ
µ (Λ
−1 )
τ
ν (J
µν − a
µ P
ν + a
ν P
µ )
(19.41)
L’identification du coefficient de ε σ donne la loi de transformation de P
σ
U (a, Λ)P
σ U
−1 (a, Λ) = (Λ
−1 )
σ
µ P
µ
(19.42)
Nous avons donc obtenu en (19.41) et (19.42) les lois de transformation des
générateurs infinitésimaux J
στ et P
σ . Les relations de commutation de ces
générateurs se déduisent de (19.41) et (19.42) en prenant a et Λ infinitésimaux,