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Physique quantique : Exercices et applications
Les opérateurs U (a, Λ) sont fonctions des translations a et des transformations de Lorentz Λ ∈L
↑
+ et sont écrits comme exponentielles de générateurs
infinitésimaux ou comme produits de telles exponentielles. Il nous faut déterminer les propriétés des générateurs infinitésimaux hermitiens du groupe de
Poincaré, et en particulier leurs relations de commutation. Ces générateurs
sont au nombre de 10 : 4 pour les translations, 3 pour les rotations et 3 pour
les boosts. Le groupe de Poincaré est un groupe de Lie à 10 paramètres. Nous
allons suivre une stratégie parallèle à celle utilisée pour le groupe des rotations : au § 7.2.3, étant donné dans l’espace ordinaire à trois dimensions une
rotation d’angle θ autour d’un axe ˆ
n, nous avons construit l’opérateur unitaire agissant dans l’espace des états comme exponentielle d’un générateur
infinitésimal hermitien
U (R ˆ
n (θ)) = e
−iθJ ˆ
n
où J ˆ
n =
J · ˆ
n est le générateur infinitésimal des rotations autour de ˆ
n,etnous
en avons déduit les relations de commutation des J i . Cependant, il existe une
différence essentielle avec le cas des représentations du groupe des rotations :
il n’existe pas de représentation unitaire de dimension finie du groupe de
Lorentz.
Nous allons considérer une transformation infinitésimale de P
↑
+ paramétrée
par une translation infinitésimale ε
µ (|ε
µ |≪1) et une transformation de
Lorentz infinitésimale
Λ
µ
ν = δ
µ
ν + ̟
µ
ν
|̟
µ
ν |≪1
(19.34)
Le formalisme introduit dans (19.34) permet de traiter simultanément rotations et boosts. On définit la matrice ω = g̟, soit en explicitant les indices
ω µν = g µλ ̟
λ
ν . Compte tenu de (19.13), on observe que ω est une matrice
antisymétrique réelle
̟
T g = −g̟ =⇒ ω
T = −ω
ou, en explicitant les indices
ω µν + ω νµ =0
Nous aurons également besoin de la formule donnant ̟ en fonction de ω :
̟ = gω,soit̟
λ
ν = g
λµ ω µν . Ecrivons une transformation de l’espace des états
U (ε, I + ̟) sous la forme
U (ε, I + ̟)=I +
i
2
ω στ J
στ + iε σ P
σ
(19.35)
L’unitarité de U implique que les opérateurs J
στ et P
σ sont hermitiens
J
στ =(J
στ )
†
P
σ =(P
σ )
†
(19.36)
Physique quantique : Exercices et applications
Les opérateurs U (a, Λ) sont fonctions des translations a et des transformations de Lorentz Λ ∈L
↑
+ et sont écrits comme exponentielles de générateurs
infinitésimaux ou comme produits de telles exponentielles. Il nous faut déterminer les propriétés des générateurs infinitésimaux hermitiens du groupe de
Poincaré, et en particulier leurs relations de commutation. Ces générateurs
sont au nombre de 10 : 4 pour les translations, 3 pour les rotations et 3 pour
les boosts. Le groupe de Poincaré est un groupe de Lie à 10 paramètres. Nous
allons suivre une stratégie parallèle à celle utilisée pour le groupe des rotations : au § 7.2.3, étant donné dans l’espace ordinaire à trois dimensions une
rotation d’angle θ autour d’un axe ˆ
n, nous avons construit l’opérateur unitaire agissant dans l’espace des états comme exponentielle d’un générateur
infinitésimal hermitien
U (R ˆ
n (θ)) = e
−iθJ ˆ
n
où J ˆ
n =
J · ˆ
n est le générateur infinitésimal des rotations autour de ˆ
n,etnous
en avons déduit les relations de commutation des J i . Cependant, il existe une
différence essentielle avec le cas des représentations du groupe des rotations :
il n’existe pas de représentation unitaire de dimension finie du groupe de
Lorentz.
Nous allons considérer une transformation infinitésimale de P
↑
+ paramétrée
par une translation infinitésimale ε
µ (|ε
µ |≪1) et une transformation de
Lorentz infinitésimale
Λ
µ
ν = δ
µ
ν + ̟
µ
ν
|̟
µ
ν |≪1
(19.34)
Le formalisme introduit dans (19.34) permet de traiter simultanément rotations et boosts. On définit la matrice ω = g̟, soit en explicitant les indices
ω µν = g µλ ̟
λ
ν . Compte tenu de (19.13), on observe que ω est une matrice
antisymétrique réelle
̟
T g = −g̟ =⇒ ω
T = −ω
ou, en explicitant les indices
ω µν + ω νµ =0
Nous aurons également besoin de la formule donnant ̟ en fonction de ω :
̟ = gω,soit̟
λ
ν = g
λµ ω µν . Ecrivons une transformation de l’espace des états
U (ε, I + ̟) sous la forme
U (ε, I + ̟)=I +
i
2
ω στ J
στ + iε σ P
σ
(19.35)
L’unitarité de U implique que les opérateurs J
στ et P
σ sont hermitiens
J
στ =(J
στ )
†
P
σ =(P
σ )
†
(19.36)