19. Physique quantique relativiste
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est un invariant (ou scalaire) de Lorentz, car c’est un produit scalaire de
Minkowski. On en déduit les relations
E =
p
2 + m 2
v =
p
E
(19.31)
Une particule de masse nulle est telle que E
2 − p
2 =0et, dans ce cas, E = | p|.
Nous aurons besoin par la suite de “l’espace de phase relativiste”. Remarquons d’abord que
d
4 p = dp
0 dp
1 dp
2 dp
3
est un invariant de Lorentz : d
4 p = d
4 p
′ car le jacobien de la transformation
(19.8) faisant passer de p
∼
à p
′
∼
est égal à l’unité : det Λ = 1. Un autre invariant
de Lorentz (ou plus précisément de L
↑
+ )e s t
θ(p
0 )δ(p
∼
2 − m
2 )
où θ(p
0 ) est la fonction de Heaviside, égale à un si p
0 > 0 et à zéro si p
0 < 0 ;
comme les transformations de L
↑
+ conservent le signe du temps, θ(p
0 )=θ(p
′ 0 ).
En écrivant
d
4 pθ(p
0 )δ(p
∼
2 − m
2 )=
d
3 p dp
0 θ(p
0 )δ
(p
0 −
p 2 + m 2 )(p
0 +
p 2 + m 2 )
=
d
3 p
2
p 2 + m 2
on montre que
d
3 p
2
p 2 + m 2
=
d
3 p
2E p
(19.32)
est un invariant de Lorentz : c’est l’élément de volume de l’espace de phase
relativiste souvent appelé par abus de langage espace de phase relativiste.
19.2 L’analyse de Wigner : masse et spin des
particules
19.2.1 Algèbre de Lie du groupe de Poincaré
Ce qui nous intéresse en dernière analyse, c’est de trouver l’action dans
l’espace de Hilbert des états d’une transformation (a, Λ) du groupe de Poincaré
P
↑
+ sous la forme d’un opérateur unitaire U (a, Λ). Les opérateurs U (a, Λ)
doivent former une représentation unitaire du groupe de Poincaré, ce qui
implique d’après (19.17) que l’on ait au signe près
U (a, Λ) U (a, Λ) = U (a + Λa, ΛΛ)
(19.33)