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Physique quantique : Exercices et applications
prenant la racine carrée positive de ses valeurs propres. Nous savons déjà
que Λ(A) est une rotation si et seulement si A est unitaire : dans ce cas,
A ∈ SU(2) et nous avons déjà observé la correspondance entre SO(3) et
SU(2). Λ(A) est une transformation de Lorentz spéciale si et seulement si A est
hermitienne. Pour le montrer, remarquons d’abord qu’une transformation de
Lorentz spéciale (19.2) le long de Oz peut s’écrire en fonction des coordonnées
du cône de lumière x
± = x
0 ± x
3
x
+ = x
0 + x
3 → x
′ 0 + x
′ 3 =(x
′ )
+ = e
−η/2 (x
0 + x
3 )
x
− = x
0 − x
3 → x
′ 0 + x
′ 3 =(x
′ )
− = e
η/2 (x
0 + x
3 )
(19.26)
Ensuite, toute matrice hermitienne A ∈ SL(2, C) peut être diagonalisée par
une matrice unitaire V sous la forme
A = V
e
−η/2 0
0 e
η/2
V
† = V e
−ησ3/2 V
†
(19.27)
où la forme diagonale suit de det A =1 . Λ(A) est donc une transformation
d eL o r e n t zs p é c i a l el el o n gd el ’ a x eˆ n qui se déduit de Oz par la rotation
correspondant à V .
19.1.5 Cinématique relativiste
Cette sous-section contient un résumé de cinématique relativiste ; pour
plus de détails, le lecteur est renvoyé à un manuel de relativité restreinte. La
vitesse d’une particule ne possède pas de loi de transformation simple dans un
changement de référentiel d’inertie. En revanche, la quadrivitesse u
µ définie
par
u
µ =
dx
µ
dτ
(19.28)
où τ est le temps propre, τ =
√
t 2 − x 2 , est un quadrivecteur se transformant
suivant la loi (19.8). Les composantes u
µ de la quadrivitesse d’une particule
se déplaçant à la vitesse v dans un référentiel donné sont
u
0 =
1
√
1 − v 2
=Γ
u =
v
√
1 − v 2
=Γ v
(19.29)
avec Γ=( 1− v
2 )
−1/2 . En multipliant par la masse m de la particule, on
obtient sa quadri-impulsion p
µ qui est aussi un quadrivecteur puisque m est
un scalaire
p
0 = E = mΓ
p = mΓ v
(19.30)
La combinaison
p
µ p µ = p
∼
2 = E
2 − p
2 = m
2