19. Physique quantique relativiste
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ferons par la suite un usage intensif de cette propriété. Si l’on veut cependant
revenir aux matrices 4 × 4 de L
↑
+ ,l am a t r i c eΛ qui donne la transformation
x
′
∼
=Λx
∼
s’obtient en remarquant que (exercice 3.3.5)
x
′ µ =
1
2
Tr(x
′
−
σ µ )=
1
2
Tr(Ax
ν σ ν A
† σ µ )
d’où par identification
Λ
µ
ν =
1
2
Tr(Aσ ν A
† σ µ )
(19.24)
On déduit de cette équation la composante Λ
0
0
Λ
0
0 =
1
2
Tr(AIA
† I)=
1
2
Tr(AA
† ) ≥ 0
et Λ
µ
ν définie par (19.24) ne change pas le signe du temps. Pour montrer
que Λ appartient au groupe connexe, il faut se convaincre que det Λ = +1.
Une démonstation directe est possible, mais il est plus instructif de montrer
directement la connexité de SL(2, C). Considérons un trajet dans le groupe
de matrices complexes 2 × 2,o ug r o u p eGL(2, C),d o n tSL(2, C) est un sousgroupe, en définissant B(t) ∈ GL(2, C)
B(t)=[1− λ(t)]I + λ(t)A
0 ≤ t ≤ 1
avec λ(t =0)=0, λ(t =1)=1et A ∈ SL(2, C). D’après (19.21), le déterminant de B(t) est
det B(t)=[1+λ(t)(α − 1)][1 + λ(t)(γ − 1)] − βγ
C’est donc un trinôme du second degré en λ(t) qui a deux zéros dans C.O n
peut toujours choisir un trajet qui évite ces deux zéros. Soit alors μ(t), une
des deux racines carrées de det B(t). L’application t → ˜
A(t)=μ
−1 (t)B(t)
définit un chemin dans SL(2, C) qui va continûment de I vers A puisque
det ˜
A(t)=1:l eg r o u p eSL(2, C) est connexe par arcs, et donc connexe. Le
sous-groupe SU(2) est donc aussi connexe. Tout comme SU(2) est le groupe de
revêtement universel de SO(3), SL(2, C) est le groupe de revêtement universel
de L
↑
+ .
Tout élément Λ ∈L
↑
+ peut s’écrire comme le produit d’une rotation par
une transformation de Lorentz spéciale. On peut monter directement ce résultat (exercice 19.1), mais il est plus commode d’utiliser la correspondance entre
L
↑
+ et SL(2, C).E ne ff e t ,t o u t em a t r i c eA ∈ SL(2, C) s’écrit de façon unique
comme le produit A = VH d’une matrice hermitienne strictement positive H
par une matrice unitaire V
H
2 = A
† AV = A(A
† A)
−1/2
(19.25)
H est la racine carrée positive unique de A
† A : comme A
† A est une matrice
hermitienne strictement positive, elle est diagonalisable et H est définie en
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ferons par la suite un usage intensif de cette propriété. Si l’on veut cependant
revenir aux matrices 4 × 4 de L
↑
+ ,l am a t r i c eΛ qui donne la transformation
x
′
∼
=Λx
∼
s’obtient en remarquant que (exercice 3.3.5)
x
′ µ =
1
2
Tr(x
′
−
σ µ )=
1
2
Tr(Ax
ν σ ν A
† σ µ )
d’où par identification
Λ
µ
ν =
1
2
Tr(Aσ ν A
† σ µ )
(19.24)
On déduit de cette équation la composante Λ
0
0
Λ
0
0 =
1
2
Tr(AIA
† I)=
1
2
Tr(AA
† ) ≥ 0
et Λ
µ
ν définie par (19.24) ne change pas le signe du temps. Pour montrer
que Λ appartient au groupe connexe, il faut se convaincre que det Λ = +1.
Une démonstation directe est possible, mais il est plus instructif de montrer
directement la connexité de SL(2, C). Considérons un trajet dans le groupe
de matrices complexes 2 × 2,o ug r o u p eGL(2, C),d o n tSL(2, C) est un sousgroupe, en définissant B(t) ∈ GL(2, C)
B(t)=[1− λ(t)]I + λ(t)A
0 ≤ t ≤ 1
avec λ(t =0)=0, λ(t =1)=1et A ∈ SL(2, C). D’après (19.21), le déterminant de B(t) est
det B(t)=[1+λ(t)(α − 1)][1 + λ(t)(γ − 1)] − βγ
C’est donc un trinôme du second degré en λ(t) qui a deux zéros dans C.O n
peut toujours choisir un trajet qui évite ces deux zéros. Soit alors μ(t), une
des deux racines carrées de det B(t). L’application t → ˜
A(t)=μ
−1 (t)B(t)
définit un chemin dans SL(2, C) qui va continûment de I vers A puisque
det ˜
A(t)=1:l eg r o u p eSL(2, C) est connexe par arcs, et donc connexe. Le
sous-groupe SU(2) est donc aussi connexe. Tout comme SU(2) est le groupe de
revêtement universel de SO(3), SL(2, C) est le groupe de revêtement universel
de L
↑
+ .
Tout élément Λ ∈L
↑
+ peut s’écrire comme le produit d’une rotation par
une transformation de Lorentz spéciale. On peut monter directement ce résultat (exercice 19.1), mais il est plus commode d’utiliser la correspondance entre
L
↑
+ et SL(2, C).E ne ff e t ,t o u t em a t r i c eA ∈ SL(2, C) s’écrit de façon unique
comme le produit A = VH d’une matrice hermitienne strictement positive H
par une matrice unitaire V
H
2 = A
† AV = A(A
† A)
−1/2
(19.25)
H est la racine carrée positive unique de A
† A : comme A
† A est une matrice
hermitienne strictement positive, elle est diagonalisable et H est définie en