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Physique quantique : Exercices et applications
dans un voisinage de l’identité et ils ont donc la même algèbre de Lie. Reprenons l’exercice 7.5.2 avec les notations du présent chapitre : soit x
−
,l am at ri ce
hermitienne de trace nulle
x
−
=
3
i=1
σ i x
i = σ · x =
x
3
x
1 − ix
2
x
1 + ix
2
−x
3
(19.19)
où les σ i sont les matrices de Pauli, et soit V ∈ SU(2) ;o nn o t eq u edet x
−
=
− x
2 .L am a t r i c e
x
′
−
= Vx
−
V
† = Vx
−
V
−1
(19.20)
est hermitienne et de trace nulle ; elle est donc de la forme x
′
−
= σ · x
′ ,e td e
plus det X
′ = −
x ′
2
, ce qui montre que la longueur du vecteur x est conservée.
La transformation x → x
′ est donc une rotation
3 .
Nous allons généraliser cette correspondance remarquable entre SO(3) et
SU(2) à une correspondance entre le groupe de Lorentz connexe et le groupe
des matrices complexes 2 × 2 de déterminant unité, appelé groupe SL(2, C).
Une matrice A ∈ SL(2, C) est de la forme
A =
αβ
γδ
αδ − βγ =1
(19.21)
où α, β, γ, δ sont des nombres complexes. Le groupe SU(2) est manifestement
un sous-groupe de SL(2, C). Nous pouvons généraliser (19.19) en construisant
la matrice hermitienne x
−
= x
−
†
x
−
= σ µ x
µ = σ 0 x
0 + σ · x =
x
0 + x
3 x
1 − ix
2
x
1 + ix
2 x
0 − x
3
(19.22)
où nous avons défini σ 0 = I. Par convention, σ
µ = σ µ : les matrices de Pauli
ne forment pas les composantes d’un quadrivecteur. On note que det x
−
=
x
µ x µ = x
∼
2 .S o i tA une matrice de SL(2, C). La généralisation de (19.20) est
x
−
→ x
′
−
= Ax
−
A
†
(19.23)
mais à la différence de (19.20), en général A
† = A
−1 .Lam at ri cex
′
−
est hermitienne et de déterminant unité, et (19.23) définit une transformation linéaire
sur les quadrivecteurs x
∼
→ x
′
∼
qui conserve le produit scalaire de Minkowski.
Calculer avec les matrices 2 × 2 de SL(2, C) est souvent beaucoup plus économique que d’utiliser les matrices 4 × 4 des transformations de Lorentz, et nous
3. En toute rigueur, il pourrait s’agir de la combinaison d’une rotation et d’une inversion
d’espace, mais nous montrerons d’ici peu que cette seconde possibilité est exclue.
Physique quantique : Exercices et applications
dans un voisinage de l’identité et ils ont donc la même algèbre de Lie. Reprenons l’exercice 7.5.2 avec les notations du présent chapitre : soit x
−
,l am at ri ce
hermitienne de trace nulle
x
−
=
3
i=1
σ i x
i = σ · x =
x
3
x
1 − ix
2
x
1 + ix
2
−x
3
(19.19)
où les σ i sont les matrices de Pauli, et soit V ∈ SU(2) ;o nn o t eq u edet x
−
=
− x
2 .L am a t r i c e
x
′
−
= Vx
−
V
† = Vx
−
V
−1
(19.20)
est hermitienne et de trace nulle ; elle est donc de la forme x
′
−
= σ · x
′ ,e td e
plus det X
′ = −
x ′
2
, ce qui montre que la longueur du vecteur x est conservée.
La transformation x → x
′ est donc une rotation
3 .
Nous allons généraliser cette correspondance remarquable entre SO(3) et
SU(2) à une correspondance entre le groupe de Lorentz connexe et le groupe
des matrices complexes 2 × 2 de déterminant unité, appelé groupe SL(2, C).
Une matrice A ∈ SL(2, C) est de la forme
A =
αβ
γδ
αδ − βγ =1
(19.21)
où α, β, γ, δ sont des nombres complexes. Le groupe SU(2) est manifestement
un sous-groupe de SL(2, C). Nous pouvons généraliser (19.19) en construisant
la matrice hermitienne x
−
= x
−
†
x
−
= σ µ x
µ = σ 0 x
0 + σ · x =
x
0 + x
3 x
1 − ix
2
x
1 + ix
2 x
0 − x
3
(19.22)
où nous avons défini σ 0 = I. Par convention, σ
µ = σ µ : les matrices de Pauli
ne forment pas les composantes d’un quadrivecteur. On note que det x
−
=
x
µ x µ = x
∼
2 .S o i tA une matrice de SL(2, C). La généralisation de (19.20) est
x
−
→ x
′
−
= Ax
−
A
†
(19.23)
mais à la différence de (19.20), en général A
† = A
−1 .Lam at ri cex
′
−
est hermitienne et de déterminant unité, et (19.23) définit une transformation linéaire
sur les quadrivecteurs x
∼
→ x
′
∼
qui conserve le produit scalaire de Minkowski.
Calculer avec les matrices 2 × 2 de SL(2, C) est souvent beaucoup plus économique que d’utiliser les matrices 4 × 4 des transformations de Lorentz, et nous
3. En toute rigueur, il pourrait s’agir de la combinaison d’une rotation et d’une inversion
d’espace, mais nous montrerons d’ici peu que cette seconde possibilité est exclue.