19. Physique quantique relativiste
815
Les transformations de type (2) et (4) contiennent un changement de signe
du temps, tandis que les transformations (3) et (4) contiennent une inversion
d’espace x →− x. Les transformations de type (1) forment un sous-groupe
du groupe de Lorentz, le groupe de Lorentz connexe noté L
↑
+ , et sauf mention
explicite du contraire, nous allons nous limiter à ces transformations. La propriété fondamentale du groupe de Lorentz connexe est que tous ses éléments
peuvent être reliés de façon continue à l’identité, ce qui n’est manifestement
pas le cas pour les transformations (2), (3) et (4) : on ne peut pas passer
continûment de det Λ = +1 à det Λ = −1, pas plus que de Λ
0
0 ≥ 1 à Λ
0
0 ≤−1.
Nous montrerons ultérieurement que toute transformation du groupe de
Lorentz connexe L
↑
+ est le produit d’une rotation par une transformation
de Lorentz spéciale.
Pour passer au groupe de Lorentz inhomogène, ou groupe de Poincaré P,ou
plus précisément au groupe de Poincaré connexe P
↑
+ , on ajoute les translations
de a
µ
x
′ µ = a
µ +Λ
µ
ν x
ν
(19.16)
La translation s’effectue après la transformation de Lorentz. La loi de composition de deux transformations du groupe de Poincaré (a, Λ) et (a, Λ) est
donnée par
x
′′ µ = a
µ + Λ
µ
ν x
′ ν = a
µ + Λ
µ
ν (Λ
ν
ρ x
ρ + a
ν )
= a
µ + Λ
µ
ν a
ν + Λ
µ
ν Λ
ν
ρ x
ρ
et la loi de groupe de P
↑
+ est donc
(a, Λ)(a, Λ) = (a + Λa, ΛΛ)
(19.17)
19.1.4 Relation avec le groupe SL(2, C)
Nous avons vu (chapitre 7 et exercice 7.5.2) qu’il existait une relation remarquable entre le groupe des rotations SO(3) et le groupe SU(2) des matrices
2 × 2 unitaires et de déterminant unité : à toute rotation R correspondent
deux matrices ±V (R) de SU(2) telles que la loi de groupe soit respectée au
signe près
V (R 1 ) V (R 2 )=±V (R 1 R 2 )
(19.18)
Nous avons utilisé la notation V pour les matrices de SU(2),c a rU est réservé pour un usage ultérieur. Mathématiquement, on dit qu’il existe un homomorphisme de groupe entre SO(3) et SU(2). Contrairement au groupe
des rotations SO(3),l eg r o u p eSU(2) est simplement connexe : il est appelé
groupe de revêtement universel de SO(3). Les deux groupes sont identiques
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Les transformations de type (2) et (4) contiennent un changement de signe
du temps, tandis que les transformations (3) et (4) contiennent une inversion
d’espace x →− x. Les transformations de type (1) forment un sous-groupe
du groupe de Lorentz, le groupe de Lorentz connexe noté L
↑
+ , et sauf mention
explicite du contraire, nous allons nous limiter à ces transformations. La propriété fondamentale du groupe de Lorentz connexe est que tous ses éléments
peuvent être reliés de façon continue à l’identité, ce qui n’est manifestement
pas le cas pour les transformations (2), (3) et (4) : on ne peut pas passer
continûment de det Λ = +1 à det Λ = −1, pas plus que de Λ
0
0 ≥ 1 à Λ
0
0 ≤−1.
Nous montrerons ultérieurement que toute transformation du groupe de
Lorentz connexe L
↑
+ est le produit d’une rotation par une transformation
de Lorentz spéciale.
Pour passer au groupe de Lorentz inhomogène, ou groupe de Poincaré P,ou
plus précisément au groupe de Poincaré connexe P
↑
+ , on ajoute les translations
de a
µ
x
′ µ = a
µ +Λ
µ
ν x
ν
(19.16)
La translation s’effectue après la transformation de Lorentz. La loi de composition de deux transformations du groupe de Poincaré (a, Λ) et (a, Λ) est
donnée par
x
′′ µ = a
µ + Λ
µ
ν x
′ ν = a
µ + Λ
µ
ν (Λ
ν
ρ x
ρ + a
ν )
= a
µ + Λ
µ
ν a
ν + Λ
µ
ν Λ
ν
ρ x
ρ
et la loi de groupe de P
↑
+ est donc
(a, Λ)(a, Λ) = (a + Λa, ΛΛ)
(19.17)
19.1.4 Relation avec le groupe SL(2, C)
Nous avons vu (chapitre 7 et exercice 7.5.2) qu’il existait une relation remarquable entre le groupe des rotations SO(3) et le groupe SU(2) des matrices
2 × 2 unitaires et de déterminant unité : à toute rotation R correspondent
deux matrices ±V (R) de SU(2) telles que la loi de groupe soit respectée au
signe près
V (R 1 ) V (R 2 )=±V (R 1 R 2 )
(19.18)
Nous avons utilisé la notation V pour les matrices de SU(2),c a rU est réservé pour un usage ultérieur. Mathématiquement, on dit qu’il existe un homomorphisme de groupe entre SO(3) et SU(2). Contrairement au groupe
des rotations SO(3),l eg r o u p eSU(2) est simplement connexe : il est appelé
groupe de revêtement universel de SO(3). Les deux groupes sont identiques