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Physique quantique : Exercices et applications
Il convient d’être très attentif au signe dans l’équation suivante : si V
µ =
(V
0 ,
V ) est un champ vectoriel V
µ (x
∼
),a l o r s
∂ µ V
µ =
∂V
0
∂x 0 +
∇·
V = ∂ t V
0 +
∇·
V
(19.13)
Il est important de se convaincre que le signe devant la partie spatiale
∇·
V
est (+), et non (−) comme dans (19.9) !
19.1.3 Groupe de Lorentz connexe
Compte tenu de l’invariance du produit scalaire de Minkowski x
∼
′ ·y
∼
′ = x
∼
·y
∼
,
l’équation (19.10) montre que la matrice 4 × 4Λdéfinie en (19.8) vérifie
Λ
λ
µ g λτ Λ
τ
ν = g µν
Nous appellerons de façon générale transformation de Lorentz toute transformation de type (19.8) qui vérifie l’équation ci-dessus, que nous récrivons sous
forme matricielle
Λ
T g Λ=g
(19.14)
où Λ
T est la matrice transposée de Λ. Les transformations Λ définies par
(19.14) forment un groupe. En effet, si Λ et Λ sont deux transformations
obéissant à (19.14), il en est de même de leur produit ΛΛ
(ΛΛ)
T g(ΛΛ) = Λ
T Λ
T gΛΛ = Λ
T gΛ=g
De plus, l’inverse Λ
−1 ainsi que la matrice transposée Λ
T vérifient également
(19.14), et on remarque que l’équation donnant l’inverse Λ
−1 de Λ est
Λ
−1 = gΛ
T g
(19.15)
Cette équation se substitue à celle valable pour les matrices orthogonales :
Λ
−1 =Λ
T , par exemple les matrices de rotation.
Prenant le déterminant de (19.14) et tenant compte de det g = −1,o ne n
déduit det Λ = ±1. D’autre part, l’examen de la composante 00 de (19.14)
conduit à la relation
(Λ
0
0 )
2 −
3
i=1
(Λ
i
0 )
2 =1
qui montre que |Λ
0
0 |≥1. Ces deux remarques permettent de classer les transformations de Lorentz en 4 sous-ensembles
(1) det Λ = 1
Λ
0
0 ≥ 1
(2) det Λ = 1
Λ
0
0 ≤−1
(3) det Λ = −1Λ
0
0 ≥ 1
(4) det Λ = −1Λ
0
0 ≤−1
Physique quantique : Exercices et applications
Il convient d’être très attentif au signe dans l’équation suivante : si V
µ =
(V
0 ,
V ) est un champ vectoriel V
µ (x
∼
),a l o r s
∂ µ V
µ =
∂V
0
∂x 0 +
∇·
V = ∂ t V
0 +
∇·
V
(19.13)
Il est important de se convaincre que le signe devant la partie spatiale
∇·
V
est (+), et non (−) comme dans (19.9) !
19.1.3 Groupe de Lorentz connexe
Compte tenu de l’invariance du produit scalaire de Minkowski x
∼
′ ·y
∼
′ = x
∼
·y
∼
,
l’équation (19.10) montre que la matrice 4 × 4Λdéfinie en (19.8) vérifie
Λ
λ
µ g λτ Λ
τ
ν = g µν
Nous appellerons de façon générale transformation de Lorentz toute transformation de type (19.8) qui vérifie l’équation ci-dessus, que nous récrivons sous
forme matricielle
Λ
T g Λ=g
(19.14)
où Λ
T est la matrice transposée de Λ. Les transformations Λ définies par
(19.14) forment un groupe. En effet, si Λ et Λ sont deux transformations
obéissant à (19.14), il en est de même de leur produit ΛΛ
(ΛΛ)
T g(ΛΛ) = Λ
T Λ
T gΛΛ = Λ
T gΛ=g
De plus, l’inverse Λ
−1 ainsi que la matrice transposée Λ
T vérifient également
(19.14), et on remarque que l’équation donnant l’inverse Λ
−1 de Λ est
Λ
−1 = gΛ
T g
(19.15)
Cette équation se substitue à celle valable pour les matrices orthogonales :
Λ
−1 =Λ
T , par exemple les matrices de rotation.
Prenant le déterminant de (19.14) et tenant compte de det g = −1,o ne n
déduit det Λ = ±1. D’autre part, l’examen de la composante 00 de (19.14)
conduit à la relation
(Λ
0
0 )
2 −
3
i=1
(Λ
i
0 )
2 =1
qui montre que |Λ
0
0 |≥1. Ces deux remarques permettent de classer les transformations de Lorentz en 4 sous-ensembles
(1) det Λ = 1
Λ
0
0 ≥ 1
(2) det Λ = 1
Λ
0
0 ≤−1
(3) det Λ = −1Λ
0
0 ≥ 1
(4) det Λ = −1Λ
0
0 ≤−1