19. Physique quantique relativiste
813
Afin d’écrire commodément ce produit scalaire de Minkowski
2 , introduisons
le tenseur métrique, ou simplement métrique de Minkowski g µν
g 00 =1
g ii = −1
g 0i =0
g ij =0 si i = j
Autrement dit, g µν est représenté par la matrice diagonale
g µν = diagonal (1, −1, −1, −1)
(19.10)
Le produit scalaire (19.9) devient alors
x
∼
· y
∼
=
3
µ,ν=0
x
µ g µν x
ν
(19.11)
La convention d’Einstein de sommation sur les indices répétés que nous adopterons par la suite, sauf en cas d’ambiguïté possible, permet de simplifier
l’écriture : avec cette convention, la sommation Σ qui porte sur un indice en
haut et un indice en bas est supprimée dans (19.11) qui devient
x
∼
· y
∼
= x
µ g µν x
ν
Un quadrivecteur x
∼
est de genre temps si x
∼
2 > 0,d ugenre espace si x
∼
2 < 0 et
du genre lumière si x
∼
2 =0 . On définit aussi les composantes covariantes x µ
d’un quadrivecteur par
x µ = g µν x
ν
x 0 = x
0
x i = −x
i
(19.12)
ce qui permet de récrire (19.11)
x
∼
· y
∼
= x
µ y µ
La distinction entre composantes contravariantes et covariantes d’un quadrivecteur est plutôt triviale en relativité restreinte, mais elle devient essentielle
en relativité générale. Le tenseur g
µν est défini par
g
µν = g
µα g αβ g
βµ
et g
µν = diagonal (1, −1, −1, −1). La dérivée partielle par rapport à x
µ ,
∂/∂x
µ = ∂ µ est un vecteur covariant
∂ µ =
∂
∂t
,
∇
=
∂
∂x 0 ,
∂
∂x 1 ,
∂
∂x 2 ,
∂
∂x 3
2. Le lecteur doit être prévenu qu’il existe deux conventions pour gµν , celle utilisée dans
ce livre, ou métrique de la côte Ouest (des USA) et celle où gµν =diagonal(−1, +1, +1, +1),
ou métrique de la côte Est. La convention adoptée dans le présent texte permet de faire
l’économie de multiples signes moins.
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Afin d’écrire commodément ce produit scalaire de Minkowski
2 , introduisons
le tenseur métrique, ou simplement métrique de Minkowski g µν
g 00 =1
g ii = −1
g 0i =0
g ij =0 si i = j
Autrement dit, g µν est représenté par la matrice diagonale
g µν = diagonal (1, −1, −1, −1)
(19.10)
Le produit scalaire (19.9) devient alors
x
∼
· y
∼
=
3
µ,ν=0
x
µ g µν x
ν
(19.11)
La convention d’Einstein de sommation sur les indices répétés que nous adopterons par la suite, sauf en cas d’ambiguïté possible, permet de simplifier
l’écriture : avec cette convention, la sommation Σ qui porte sur un indice en
haut et un indice en bas est supprimée dans (19.11) qui devient
x
∼
· y
∼
= x
µ g µν x
ν
Un quadrivecteur x
∼
est de genre temps si x
∼
2 > 0,d ugenre espace si x
∼
2 < 0 et
du genre lumière si x
∼
2 =0 . On définit aussi les composantes covariantes x µ
d’un quadrivecteur par
x µ = g µν x
ν
x 0 = x
0
x i = −x
i
(19.12)
ce qui permet de récrire (19.11)
x
∼
· y
∼
= x
µ y µ
La distinction entre composantes contravariantes et covariantes d’un quadrivecteur est plutôt triviale en relativité restreinte, mais elle devient essentielle
en relativité générale. Le tenseur g
µν est défini par
g
µν = g
µα g αβ g
βµ
et g
µν = diagonal (1, −1, −1, −1). La dérivée partielle par rapport à x
µ ,
∂/∂x
µ = ∂ µ est un vecteur covariant
∂ µ =
∂
∂t
,
∇
=
∂
∂x 0 ,
∂
∂x 1 ,
∂
∂x 2 ,
∂
∂x 3
2. Le lecteur doit être prévenu qu’il existe deux conventions pour gµν , celle utilisée dans
ce livre, ou métrique de la côte Ouest (des USA) et celle où gµν =diagonal(−1, +1, +1, +1),
ou métrique de la côte Est. La convention adoptée dans le présent texte permet de faire
l’économie de multiples signes moins.