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Physique quantique : Exercices et applications
de temps et de trois coordonnées d’espace définit un point de l’espace-temps
spécifiant les coordonnées d’un événement, et le vecteur joignant l’origine à
ce point est appelé quadrivecteur, que l’on représentera par le symbole x
∼
.L a
composante de temps d’un quadrivecteur est indicée par un exposant 0 et les
coordonnées d’espace sont indicées par un exposant latin i =1 , 2, 3.A v e c
ces conventions
x
∼
=(t, x, y, z) ≡ (x
0 ,x
1 ,x
2 ,x
3 )
(19.5)
Les quatre coordonnées sont notées collectivement par un exposant grec μ
v a r i a n td e0à3:μ =0, 1, 2, 3
x
µ =(x
0 ,x
1 ,x
2 ,x
3 )
(19.6)
Les composantes (19.6) de x
µ sont appelées composantes contravariantes du
quadrivecteur. Une transformation de Lorentz spéciale de rapidité η le long
d’une direction ˆ
n s’écrit avec cette notation
x
′ 0 = x
0 cosh η − x · ˆ
n sinh η
x
′ i = x
i − ( x · ˆ
n)ˆ n
i +[( x · ˆ
n)coshη − x
0 sinh η]ˆ n
i
(19.7)
En effet, la composante de x dans la direction ˆ
n est le produit scalaire tridimensionnel x · ˆ
n :s iˆ n =ˆ z,a l o r s x · ˆ
n = x
3 (≡ z) et l’on retrouve bien (19.2).
Le membre de droite de (19.7) est une combinaison linéaire des composantes
x
µ du quadrivecteur x et peut s’écrire sous forme matricielle
x
′ µ =
ν=3
ν=0
Λ
µ
ν x
ν
(19.8)
Examinons la quantité (x
0 )
2 − x
2 : elle est invariante par toute transformation
de Lorentz spéciale (19.7) ainsi que par toute rotation d’espace. Elle est donc
invariante par toute combinaison de rotations et de transformations de Lorentz
spéciales, et nous appellerons transformation de Lorentz
1 toute combinaison
de ce type en généralisant la notation (19.8) à l’ensemble des transformations
de Lorentz. Par définition, une transformation de Lorentz (19.8) laisse invariant le produit scalaire de Minkowski de deux quadrivecteurs x
∼
et y
∼
défini
par
x
∼
· y
∼
= x
0 y
0 − x · y = x
0 y
0 −
3
i=1
x
i y
i
(19.9)
1. Comme nous le verrons d’ici peu, il s’agit plus précisément des transformations du
groupe de Lorentz connexe.
Physique quantique : Exercices et applications
de temps et de trois coordonnées d’espace définit un point de l’espace-temps
spécifiant les coordonnées d’un événement, et le vecteur joignant l’origine à
ce point est appelé quadrivecteur, que l’on représentera par le symbole x
∼
.L a
composante de temps d’un quadrivecteur est indicée par un exposant 0 et les
coordonnées d’espace sont indicées par un exposant latin i =1 , 2, 3.A v e c
ces conventions
x
∼
=(t, x, y, z) ≡ (x
0 ,x
1 ,x
2 ,x
3 )
(19.5)
Les quatre coordonnées sont notées collectivement par un exposant grec μ
v a r i a n td e0à3:μ =0, 1, 2, 3
x
µ =(x
0 ,x
1 ,x
2 ,x
3 )
(19.6)
Les composantes (19.6) de x
µ sont appelées composantes contravariantes du
quadrivecteur. Une transformation de Lorentz spéciale de rapidité η le long
d’une direction ˆ
n s’écrit avec cette notation
x
′ 0 = x
0 cosh η − x · ˆ
n sinh η
x
′ i = x
i − ( x · ˆ
n)ˆ n
i +[( x · ˆ
n)coshη − x
0 sinh η]ˆ n
i
(19.7)
En effet, la composante de x dans la direction ˆ
n est le produit scalaire tridimensionnel x · ˆ
n :s iˆ n =ˆ z,a l o r s x · ˆ
n = x
3 (≡ z) et l’on retrouve bien (19.2).
Le membre de droite de (19.7) est une combinaison linéaire des composantes
x
µ du quadrivecteur x et peut s’écrire sous forme matricielle
x
′ µ =
ν=3
ν=0
Λ
µ
ν x
ν
(19.8)
Examinons la quantité (x
0 )
2 − x
2 : elle est invariante par toute transformation
de Lorentz spéciale (19.7) ainsi que par toute rotation d’espace. Elle est donc
invariante par toute combinaison de rotations et de transformations de Lorentz
spéciales, et nous appellerons transformation de Lorentz
1 toute combinaison
de ce type en généralisant la notation (19.8) à l’ensemble des transformations
de Lorentz. Par définition, une transformation de Lorentz (19.8) laisse invariant le produit scalaire de Minkowski de deux quadrivecteurs x
∼
et y
∼
défini
par
x
∼
· y
∼
= x
0 y
0 − x · y = x
0 y
0 −
3
i=1
x
i y
i
(19.9)
1. Comme nous le verrons d’ici peu, il s’agit plus précisément des transformations du
groupe de Lorentz connexe.