19. Physique quantique relativiste
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de Lorentz de rapidité η
′′ = η + η
′ . En effet, en multipliant deux matrices
de type (19.2) et en utilisant des identités de trigonométrie hyperbolique, on
obtient
t
′′
z ′′
=
cosh η
′ − sinh η
′
− sinh η
′ cosh η
′
cosh η − sinh η
− sinh η cosh η
t
z
=
cosh(η + η
′ ) − sinh(η + η
′ )
− sinh(η + η
′ )c o s h ( η + η
′ )
t
z
La transformation (t, z) → (t
′′ ,z
′′ ) estdoncderapiditéη
′′ = η
′ +η. Contrairement à la rapidité, la vitesse n’est pas un paramètre additif, et la loi d’addition
des vitesses
v
′′ =
v + v
′
1+vv ′
est complexe parce que c’est une loi d’addition de tangentes hyperboliques. La
paramétrisation des transformations de Lorentz par les vitesses serait l’analogue d’une paramétrisation des rotations par les tangentes des angles au lieu
des angles de rotation eux-mêmes, ce qui serait manifestement un assez mauvais choix. Compte tenu de
cos iη =coshη
sin iη = i sinh iη
et bien que cette observation ne soit pas particulièrement utile pour la suite, on
voit d’ailleurs que l’équation (19.2) peut être interprétée comme une rotation
d’angle imaginaire iη dans le plan (it, z). Le passage à un temps imaginaire
est appelé rotation de Wick (voir la note 5 du chapitre 12).
19.1.2 Produit scalaire de Minkowski
L’observation suivante sera fondamentale pour ce qui suit : la quantité
(t
2 − z
2 ) est invariante par toute transformation de Lorentz spéciale le long
de Oz
t
′ 2 − z
′ 2 = t
2 − z
2
(19.3)
identité qui se déduit de (19.2) et de (cosh
2 η − sinh
2 η)=1. On généralise ce
résultat en considérant un second événement de coordonnées (t 1 ,z 1 ) dont les
coordonnées transformées de Lorentz sont (t
′
1 ,z
′
1 ).S iλ est un nombre réel, la
quantité (t + λt 1 )
2 − (z + λz 1 )
2 doit être invariante par cette transformation,
ce qui montre que
t
′ t
′
1 − z
′ z
′
1 = tt 1 − zz 1
(19.4)
Une transformation de Lorentz le long de Oz conserve donc non pas le produit
scalaire habituel dans un espace euclidien (t, z) qui serait (tt 1 + zz 1 ),m a i sl e
produit scalaire de Minkowski (tt 1 − zz 1 ).
Introduisons maintenant les notations quadri-dimensionnelles de la relativité retreinte. Un ensemble (t, x, y, z) ≡ (t, , r) ≡ (t, , x) d’une coordonnée
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de Lorentz de rapidité η
′′ = η + η
′ . En effet, en multipliant deux matrices
de type (19.2) et en utilisant des identités de trigonométrie hyperbolique, on
obtient
t
′′
z ′′
=
cosh η
′ − sinh η
′
− sinh η
′ cosh η
′
cosh η − sinh η
− sinh η cosh η
t
z
=
cosh(η + η
′ ) − sinh(η + η
′ )
− sinh(η + η
′ )c o s h ( η + η
′ )
t
z
La transformation (t, z) → (t
′′ ,z
′′ ) estdoncderapiditéη
′′ = η
′ +η. Contrairement à la rapidité, la vitesse n’est pas un paramètre additif, et la loi d’addition
des vitesses
v
′′ =
v + v
′
1+vv ′
est complexe parce que c’est une loi d’addition de tangentes hyperboliques. La
paramétrisation des transformations de Lorentz par les vitesses serait l’analogue d’une paramétrisation des rotations par les tangentes des angles au lieu
des angles de rotation eux-mêmes, ce qui serait manifestement un assez mauvais choix. Compte tenu de
cos iη =coshη
sin iη = i sinh iη
et bien que cette observation ne soit pas particulièrement utile pour la suite, on
voit d’ailleurs que l’équation (19.2) peut être interprétée comme une rotation
d’angle imaginaire iη dans le plan (it, z). Le passage à un temps imaginaire
est appelé rotation de Wick (voir la note 5 du chapitre 12).
19.1.2 Produit scalaire de Minkowski
L’observation suivante sera fondamentale pour ce qui suit : la quantité
(t
2 − z
2 ) est invariante par toute transformation de Lorentz spéciale le long
de Oz
t
′ 2 − z
′ 2 = t
2 − z
2
(19.3)
identité qui se déduit de (19.2) et de (cosh
2 η − sinh
2 η)=1. On généralise ce
résultat en considérant un second événement de coordonnées (t 1 ,z 1 ) dont les
coordonnées transformées de Lorentz sont (t
′
1 ,z
′
1 ).S iλ est un nombre réel, la
quantité (t + λt 1 )
2 − (z + λz 1 )
2 doit être invariante par cette transformation,
ce qui montre que
t
′ t
′
1 − z
′ z
′
1 = tt 1 − zz 1
(19.4)
Une transformation de Lorentz le long de Oz conserve donc non pas le produit
scalaire habituel dans un espace euclidien (t, z) qui serait (tt 1 + zz 1 ),m a i sl e
produit scalaire de Minkowski (tt 1 − zz 1 ).
Introduisons maintenant les notations quadri-dimensionnelles de la relativité retreinte. Un ensemble (t, x, y, z) ≡ (t, , r) ≡ (t, , x) d’une coordonnée