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Physique quantique : Exercices et applications
d’invariance sous-jacent. La section 19.3 est consacrée à la construction de
l’équation de Dirac, équation d’onde relativiste pour les particules de spin 1/2,
et à sa solution dans le cas de l’atome d’hydrogène. La section 19.4 décrit les
propriétés de symétrie et la dernière section est une courte introduction à la
quantification du champ de Dirac.
NB : Dans ce chapitre nous utilisons un système d’unités tel que = c =1.
19.1 Les groupes de Lorentz et de Poincaré
19.1.1 Transformations de Lorentz spéciales
En relativité restreinte, les transformations de Lorentz (ou plus précisément les transformations de Lorentz spéciales) permettent de passer d’un
premier référentiel d’inertie à un second se déplaçant par rapport au premier
avec une vitesse uniforme v. Dans le cas particulier d’une vitesse dirigée suivant Oz, les coordonnées de temps t et d’espace (x, y, z) d’un événement se
transforment suivant la loi (rappelons que c =1)
t
′ =
t − vz
√
1 − v 2
z
′ =
z − vt
√
1 − v 2
x
′ = xy
′ = y
(19.1)
où t, x, y, z sont les coordonnées de l’événement dans le premier référentiel,
t
′ ,x
′ ,y
′ ,z
′ ses coordonnées dans le second. L’équation (19.1) définit une transformation de Lorentz spéciale (ou transformation de Lorentz pure, aussi appelée boost) de vitesse v le long de l’axe Oz. La transformation (19.1) est
une transformation passive :l emême événement est vu dans deux référentiels
différents.
Au lieu de la vitesse v, il est plus commode de paramétrer la transformation
de Lorentz (19.1) à l’aide de la rapidité η =tanhv. Sous forme matricielle, les
deux premières lignes de (19.1) deviennent
t
′
z ′
=
cosh η − sinh η
− sinh η cosh η
t
z
(19.2)
Pour déduire (19.2) de (19.1), nous avons utilisé les identités de trigonométrie
hyperbolique
cosh η =
1
1 − tanh
2 η
sinh η =
tanh η
1 − tanh
2 η
L’avantage de la rapidité est d’être un paramètre additif : la composition d’une
transformation de Lorentz spéciale de rapidité η et d’une seconde transformation spéciale de rapidité η
′ (le long d’un même axe !) est une transformation
Physique quantique : Exercices et applications
d’invariance sous-jacent. La section 19.3 est consacrée à la construction de
l’équation de Dirac, équation d’onde relativiste pour les particules de spin 1/2,
et à sa solution dans le cas de l’atome d’hydrogène. La section 19.4 décrit les
propriétés de symétrie et la dernière section est une courte introduction à la
quantification du champ de Dirac.
NB : Dans ce chapitre nous utilisons un système d’unités tel que = c =1.
19.1 Les groupes de Lorentz et de Poincaré
19.1.1 Transformations de Lorentz spéciales
En relativité restreinte, les transformations de Lorentz (ou plus précisément les transformations de Lorentz spéciales) permettent de passer d’un
premier référentiel d’inertie à un second se déplaçant par rapport au premier
avec une vitesse uniforme v. Dans le cas particulier d’une vitesse dirigée suivant Oz, les coordonnées de temps t et d’espace (x, y, z) d’un événement se
transforment suivant la loi (rappelons que c =1)
t
′ =
t − vz
√
1 − v 2
z
′ =
z − vt
√
1 − v 2
x
′ = xy
′ = y
(19.1)
où t, x, y, z sont les coordonnées de l’événement dans le premier référentiel,
t
′ ,x
′ ,y
′ ,z
′ ses coordonnées dans le second. L’équation (19.1) définit une transformation de Lorentz spéciale (ou transformation de Lorentz pure, aussi appelée boost) de vitesse v le long de l’axe Oz. La transformation (19.1) est
une transformation passive :l emême événement est vu dans deux référentiels
différents.
Au lieu de la vitesse v, il est plus commode de paramétrer la transformation
de Lorentz (19.1) à l’aide de la rapidité η =tanhv. Sous forme matricielle, les
deux premières lignes de (19.1) deviennent
t
′
z ′
=
cosh η − sinh η
− sinh η cosh η
t
z
(19.2)
Pour déduire (19.2) de (19.1), nous avons utilisé les identités de trigonométrie
hyperbolique
cosh η =
1
1 − tanh
2 η
sinh η =
tanh η
1 − tanh
2 η
L’avantage de la rapidité est d’être un paramètre additif : la composition d’une
transformation de Lorentz spéciale de rapidité η et d’une seconde transformation spéciale de rapidité η
′ (le long d’un même axe !) est une transformation