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Physique quantique : Exercices et applications
C’est la probabilité de trouver la particule en x b au temps τ b sachant qu’elle
est partie de x a au temps τ a .L eprocessus de diffusion étant markovien, cette
probabilité obéit à une équation de Chapman-Kolmogorov
p(x b ,τ b |x a ,τ a )=
dx 1 p(x b ,τ b |x 1 ,τ 1 )p(x 1 ,τ 1 |x a τ a )
(12.28)
Pour prouver directement (12.28), on remarque que la transformée de Fourier
spatiale de p est donnée par
˜ p(k, τ b − τ a )=e
−Dk
2 (τ b −τa) θ(τ b − τ a )
et que le produit dans l’espace des k se transforme en convolution dans l’espace
des x. Nous allons maintenant itérer l’équation (12.28) en divisant l’intervalle
[τ a ,τ b ] en n intervalles de longueur ε =( τ b − τ a )/n. Aux temps intermédiaires τ j = τ a + jε correspondent des positions x(τ j )=x j , j =1 , 2, ...,
n − 1, les positions initiale et finale étant x 0 = x(τ a )=x a ,x n = x(τ b )=x b
(figure 12.1). L’itération de (12.28) donne
p(x b ,τ b |x a ,τ a )=
n−1
j=1
dx j p(x b ,τ b |x n−1 ,τ n−1 ) ...p(x j+1 ,τ j+1 |x j ,τ j ) ...
p(x 1 ,τ 1 |x a ,τ a )
=
1
√
4πDε
n−1
j=1
dx j
√
4πDε
exp
⎡
⎣ −
1
4D
n−1
j=0
(x j+1 −x j )
2
ε
⎤
⎦ (12.29)
On peut donner une interprétation intuitive de cette formule rigoureuse à la
limite ε → 0 : dans cette limite, la trajectoire en zig-zag de la figure 12.1
représente un “chemin” x(τ ) allant de (x a ,τ a ) à (x b ,τ b ) en passant par les
points intermédiaires (τ j ,x j ). Ce chemin est affecté d’un poids statistique
exp
⎡
⎣ −
ε
4D
n−1
j=0
(x j+1 − x j )
2
ε 2
⎤
⎦ → exp
−
1
4D
τ b
τa
dx
dτ
2
dτ
si l’on admet avec un certain optimisme (cf. le § 12.3.2) que l’on peut remplacer la somme de Riemann par une intégrale à la limite ε → 0. On écrit
formellement cette somme sur les chemins
1
√
4πDε
n−1
j=1
dx j
√
4πDε
→
x(τ b )=x b
x(τa)=xa
Dx(τ )
(12.30)
et (12.29) devient avec cette notation
p(x b ,τ b |x a ,τ a )=
x(τ b )=x b
x(τa)=xa
Dx(τ )exp
−
1
4D
τ b
τa
dx
dτ
2
dτ
(12.31)
Physique quantique : Exercices et applications
C’est la probabilité de trouver la particule en x b au temps τ b sachant qu’elle
est partie de x a au temps τ a .L eprocessus de diffusion étant markovien, cette
probabilité obéit à une équation de Chapman-Kolmogorov
p(x b ,τ b |x a ,τ a )=
dx 1 p(x b ,τ b |x 1 ,τ 1 )p(x 1 ,τ 1 |x a τ a )
(12.28)
Pour prouver directement (12.28), on remarque que la transformée de Fourier
spatiale de p est donnée par
˜ p(k, τ b − τ a )=e
−Dk
2 (τ b −τa) θ(τ b − τ a )
et que le produit dans l’espace des k se transforme en convolution dans l’espace
des x. Nous allons maintenant itérer l’équation (12.28) en divisant l’intervalle
[τ a ,τ b ] en n intervalles de longueur ε =( τ b − τ a )/n. Aux temps intermédiaires τ j = τ a + jε correspondent des positions x(τ j )=x j , j =1 , 2, ...,
n − 1, les positions initiale et finale étant x 0 = x(τ a )=x a ,x n = x(τ b )=x b
(figure 12.1). L’itération de (12.28) donne
p(x b ,τ b |x a ,τ a )=
n−1
j=1
dx j p(x b ,τ b |x n−1 ,τ n−1 ) ...p(x j+1 ,τ j+1 |x j ,τ j ) ...
p(x 1 ,τ 1 |x a ,τ a )
=
1
√
4πDε
n−1
j=1
dx j
√
4πDε
exp
⎡
⎣ −
1
4D
n−1
j=0
(x j+1 −x j )
2
ε
⎤
⎦ (12.29)
On peut donner une interprétation intuitive de cette formule rigoureuse à la
limite ε → 0 : dans cette limite, la trajectoire en zig-zag de la figure 12.1
représente un “chemin” x(τ ) allant de (x a ,τ a ) à (x b ,τ b ) en passant par les
points intermédiaires (τ j ,x j ). Ce chemin est affecté d’un poids statistique
exp
⎡
⎣ −
ε
4D
n−1
j=0
(x j+1 − x j )
2
ε 2
⎤
⎦ → exp
−
1
4D
τ b
τa
dx
dτ
2
dτ
si l’on admet avec un certain optimisme (cf. le § 12.3.2) que l’on peut remplacer la somme de Riemann par une intégrale à la limite ε → 0. On écrit
formellement cette somme sur les chemins
1
√
4πDε
n−1
j=1
dx j
√
4πDε
→
x(τ b )=x b
x(τa)=xa
Dx(τ )
(12.30)
et (12.29) devient avec cette notation
p(x b ,τ b |x a ,τ a )=
x(τ b )=x b
x(τa)=xa
Dx(τ )exp
−
1
4D
τ b
τa
dx
dτ
2
dτ
(12.31)