12. Méthodes semi-classiques
493
résolution quantitative, en particulier numérique de certains problèmes. Partons de l’équation de Schrödinger pour la particule libre à une dimension
i
∂
∂t
+
2
2m
∂
2
∂x 2
ϕ(x, t)=0
(12.21)
et effectuons la transformation (passage au temps imaginaire ou temps
euclidien)
5 t →−iτ
∂
∂τ
−
2
2m
∂
2
∂x 2
ϕ(x, τ )=0
Cette équation a la forme d’une équation de diffusion (parce que l’on a choisi
t →−iτ et non t → +iτ !)
∂ϕ
∂τ
= D
∂
2 ϕ
∂x 2
(12.22)
où l’on identifie /2m à un coefficient de diffusion D. Par une transformation
de Fourier spatiale, cette équation devient
∂
∂τ
˜
ϕ(k, τ)=−Dk
2 ˜
ϕ(k, τ)
(12.23)
qui a pour solution évidente
˜
ϕ(k, τ)=C e
−Dk
2 τ
(12.24)
où C est une constante arbitraire. Revenant à l’espace des x, on en déduit par
une transformée de Fourier de gaussienne
ϕ(x, τ )=
dk
2π
e
−Dk
2 τ e
ikx =
θ(τ )
√
4πDτ
exp
−
x
2
4Dτ
(12.25)
La constante C de (12.24) a été fixée à un, de sorte que
lim
τ →0 +
ϕ(x, τ )=δ(x)
(12.26)
L’interprétation physique de ϕ(x, τ ) est la suivante : si une particule (classique !) diffuse à partir de l’origine au temps τ =0 , elle sera au point x au
temps τ avec une probabilité ϕ(x, τ ). Plus généralement, on peut définir la
probabilité conditionnelle
p(x b ,τ b |x a τ a )=
1
4πD|τ b − τ a |
exp
−
|x b − x a |
2
4D|τ b − τ a |
τ b >τ a (12.27)
5. La terminologie “temps euclidien” vient de la théorie quantique des champs. La métrique de Minkowski x 2
M = x 2
0 − r 2 ,a v e cx 0 = ct, se transforme au signe près dans la
métrique euclidienne x 2
E = r 2 + x 2
4 avec x 4 = cτ . Le passage au temps euclidien est aussi
très utile dans la discussion de l’équation de Fokker-Planck, qui peut se ramener à une
équation de Schrödinger en temps imaginaire : voir par exemple Parisi [1989], chapitre 19,
ou Le Bellac et al. [2004], chapitre 9. On trouvera dans le livre de Parisi [1989], chapitre 13,
une excellente discussion du prolongement analytique du temps réel au temps imaginaire
qui est aussi appelé rotation de Wick.
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résolution quantitative, en particulier numérique de certains problèmes. Partons de l’équation de Schrödinger pour la particule libre à une dimension
i
∂
∂t
+
2
2m
∂
2
∂x 2
ϕ(x, t)=0
(12.21)
et effectuons la transformation (passage au temps imaginaire ou temps
euclidien)
5 t →−iτ
∂
∂τ
−
2
2m
∂
2
∂x 2
ϕ(x, τ )=0
Cette équation a la forme d’une équation de diffusion (parce que l’on a choisi
t →−iτ et non t → +iτ !)
∂ϕ
∂τ
= D
∂
2 ϕ
∂x 2
(12.22)
où l’on identifie /2m à un coefficient de diffusion D. Par une transformation
de Fourier spatiale, cette équation devient
∂
∂τ
˜
ϕ(k, τ)=−Dk
2 ˜
ϕ(k, τ)
(12.23)
qui a pour solution évidente
˜
ϕ(k, τ)=C e
−Dk
2 τ
(12.24)
où C est une constante arbitraire. Revenant à l’espace des x, on en déduit par
une transformée de Fourier de gaussienne
ϕ(x, τ )=
dk
2π
e
−Dk
2 τ e
ikx =
θ(τ )
√
4πDτ
exp
−
x
2
4Dτ
(12.25)
La constante C de (12.24) a été fixée à un, de sorte que
lim
τ →0 +
ϕ(x, τ )=δ(x)
(12.26)
L’interprétation physique de ϕ(x, τ ) est la suivante : si une particule (classique !) diffuse à partir de l’origine au temps τ =0 , elle sera au point x au
temps τ avec une probabilité ϕ(x, τ ). Plus généralement, on peut définir la
probabilité conditionnelle
p(x b ,τ b |x a τ a )=
1
4πD|τ b − τ a |
exp
−
|x b − x a |
2
4D|τ b − τ a |
τ b >τ a (12.27)
5. La terminologie “temps euclidien” vient de la théorie quantique des champs. La métrique de Minkowski x 2
M = x 2
0 − r 2 ,a v e cx 0 = ct, se transforme au signe près dans la
métrique euclidienne x 2
E = r 2 + x 2
4 avec x 4 = cτ . Le passage au temps euclidien est aussi
très utile dans la discussion de l’équation de Fokker-Planck, qui peut se ramener à une
équation de Schrödinger en temps imaginaire : voir par exemple Parisi [1989], chapitre 19,
ou Le Bellac et al. [2004], chapitre 9. On trouvera dans le livre de Parisi [1989], chapitre 13,
une excellente discussion du prolongement analytique du temps réel au temps imaginaire
qui est aussi appelé rotation de Wick.