492
Physique quantique : Exercices et applications
ce qui donne l’expression explicite de K 0
K 0 (x, x
′ ; t)=θ(t)
m
2iπt
exp
im(x − x
′ )
2
2t
(12.17)
Comme le propagateur libre ne dépend que de la différence (x − x
′ ),i ls e r a
commode de choisir par la suite x
′ =0. La transformée de Fourier temporelle
G 0 (x; E) de K 0 (x; t) vérifie d’après (12.13)
d
2
dx 2 +
2mE
2
G 0 (x; E)=
2m
2 δ(x)
Au lieu de G 0 , il est plus commode d’utiliser la fonction de Green G 0 (x; k)=
(
2 /2m)G 0 (x; E),a v e cE =
2 k
2 /2m, qui vérifie
d
2
dx 2 + k
2
G 0 (x, k)=δ(x)
(12.18)
Une solution possible de cette équation est
G 0 (x; k)=
1
2ik
e
ik|x|
(12.19)
En effet,
d
dx
d
dx
e
ik|x|
=
d
dx
ikǫ(x) e
ik|x|
=2 ikδ(x) e
ik|x| − k
2 e
ik|x|
où ǫ(x)=θ(x) − θ(−x) est la fonction signe de x. La généralisation de (12.18)
à trois dimensions
(∇
2 + k
2 )G 0 ( r ; k)=δ( r)
(12.20)
sera étudiée dans le chapitre suivant.
12.2 L’intégrale de Feynman-Kaˇ c
12.2.1 Mouvement brownien et diffusion
Dans la section précédente, nous avons vu apparaître des intégrands qui
oscillent à l’infini. Ces oscillations constituent un sérieux handicap pour un
traitement mathématiquement rigoureux de l’intégrale de chemin que nous
allons introduire ci-dessous en exploitant une correspondance remarquable
entre problèmes de physique quantique et problèmes de physique statistique.
En plus de son utilité dans la discussion de l’intégrale de chemin, cette correspondance peut aussi servir à la compréhension qualitative et même à la
Physique quantique : Exercices et applications
ce qui donne l’expression explicite de K 0
K 0 (x, x
′ ; t)=θ(t)
m
2iπt
exp
im(x − x
′ )
2
2t
(12.17)
Comme le propagateur libre ne dépend que de la différence (x − x
′ ),i ls e r a
commode de choisir par la suite x
′ =0. La transformée de Fourier temporelle
G 0 (x; E) de K 0 (x; t) vérifie d’après (12.13)
d
2
dx 2 +
2mE
2
G 0 (x; E)=
2m
2 δ(x)
Au lieu de G 0 , il est plus commode d’utiliser la fonction de Green G 0 (x; k)=
(
2 /2m)G 0 (x; E),a v e cE =
2 k
2 /2m, qui vérifie
d
2
dx 2 + k
2
G 0 (x, k)=δ(x)
(12.18)
Une solution possible de cette équation est
G 0 (x; k)=
1
2ik
e
ik|x|
(12.19)
En effet,
d
dx
d
dx
e
ik|x|
=
d
dx
ikǫ(x) e
ik|x|
=2 ikδ(x) e
ik|x| − k
2 e
ik|x|
où ǫ(x)=θ(x) − θ(−x) est la fonction signe de x. La généralisation de (12.18)
à trois dimensions
(∇
2 + k
2 )G 0 ( r ; k)=δ( r)
(12.20)
sera étudiée dans le chapitre suivant.
12.2 L’intégrale de Feynman-Kaˇ c
12.2.1 Mouvement brownien et diffusion
Dans la section précédente, nous avons vu apparaître des intégrands qui
oscillent à l’infini. Ces oscillations constituent un sérieux handicap pour un
traitement mathématiquement rigoureux de l’intégrale de chemin que nous
allons introduire ci-dessous en exploitant une correspondance remarquable
entre problèmes de physique quantique et problèmes de physique statistique.
En plus de son utilité dans la discussion de l’intégrale de chemin, cette correspondance peut aussi servir à la compréhension qualitative et même à la