12. Méthodes semi-classiques
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et à l’évidence (E − H)G(E)=I. Il est parfois commode de considérer des
valeurs complexes z de l’énergie, et G(z)=( z − H)
−1 est la résolvante (voir
(2.46)) de H, la fonction de Green G(E) étant obtenue en choisissant z =
E + iη.L ar é s o l v a n t eG(z) a des pôles pour les valeurs propres z = E n du
spectre discret de H,e tl er é s i d uR n du pôle à z = E n est relié aux fonctions
propres de la valeur propre E n
R n =
s
ϕ ns ( r)ϕ
∗
ns ( r
′ )
(12.15)
Dans le cas du spectre continu, G(z) est singulier si z appartient au spectre de
H et G(z) présente une coupure sur l’axe réel. La connaissance de la fonction
de Green pour un problème quantique indépendant du temps est équivalente
à celle des fonctions propres et valeurs propres de H, c’est-à-dire à la solution
complète du problème quantique. C’est cette observation qui rend la fonction
de Green particulièrement utile.
12.1.3 Propagateur libre
L’exemple le plus simple de propagateur est celui de l’équation de Schrödinger libre : V =0 . Pour des raisons de simplicité d’écriture, nous allons
nous limiter au cas d’une particule de masse m se déplaçant dans un espace
à une dimension, mais la plupart des résultats qui vont suivre se généralisent sans difficulté à N particules dans un espace à trois dimensions. En
notant K 0 (x, x
′ ; t) le propagateur libre, nous obtenons à partir de (12.8), avec
H = H 0 = P
2 /2m
K 0 (x, x
′ ; t)=x|e
−iP
2 t/(2m) |x
′ =
dp
2π
e
ip(x−x
′ )/ e
−ip
2 t/(2m)
=
1
2π
exp
im(x − x
′ )
2
2t
+∞
−∞
dp
′ exp
−
itp
′ 2
2m
où nous avons introduit un système complet d’états de l’opérateur impulsion P
pour obtenir la seconde équation de la première ligne, et le changement de
variables p
′ = p − m(x − x
′ )/t pour la seconde ligne. L’intégrale de la seconde
ligne se ramène à l’intégrale gaussienne
I(a)=
+∞
−∞
du e
−au
2 /2 =
2π
a
(12.16)
lorsque a est réel et strictement positif. Pour a complexe, a = |a| exp(iθ),o n
utilise un prolongement analytique
I(a)=
2π
a
e
−iθ/2
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et à l’évidence (E − H)G(E)=I. Il est parfois commode de considérer des
valeurs complexes z de l’énergie, et G(z)=( z − H)
−1 est la résolvante (voir
(2.46)) de H, la fonction de Green G(E) étant obtenue en choisissant z =
E + iη.L ar é s o l v a n t eG(z) a des pôles pour les valeurs propres z = E n du
spectre discret de H,e tl er é s i d uR n du pôle à z = E n est relié aux fonctions
propres de la valeur propre E n
R n =
s
ϕ ns ( r)ϕ
∗
ns ( r
′ )
(12.15)
Dans le cas du spectre continu, G(z) est singulier si z appartient au spectre de
H et G(z) présente une coupure sur l’axe réel. La connaissance de la fonction
de Green pour un problème quantique indépendant du temps est équivalente
à celle des fonctions propres et valeurs propres de H, c’est-à-dire à la solution
complète du problème quantique. C’est cette observation qui rend la fonction
de Green particulièrement utile.
12.1.3 Propagateur libre
L’exemple le plus simple de propagateur est celui de l’équation de Schrödinger libre : V =0 . Pour des raisons de simplicité d’écriture, nous allons
nous limiter au cas d’une particule de masse m se déplaçant dans un espace
à une dimension, mais la plupart des résultats qui vont suivre se généralisent sans difficulté à N particules dans un espace à trois dimensions. En
notant K 0 (x, x
′ ; t) le propagateur libre, nous obtenons à partir de (12.8), avec
H = H 0 = P
2 /2m
K 0 (x, x
′ ; t)=x|e
−iP
2 t/(2m) |x
′ =
dp
2π
e
ip(x−x
′ )/ e
−ip
2 t/(2m)
=
1
2π
exp
im(x − x
′ )
2
2t
+∞
−∞
dp
′ exp
−
itp
′ 2
2m
où nous avons introduit un système complet d’états de l’opérateur impulsion P
pour obtenir la seconde équation de la première ligne, et le changement de
variables p
′ = p − m(x − x
′ )/t pour la seconde ligne. L’intégrale de la seconde
ligne se ramène à l’intégrale gaussienne
I(a)=
+∞
−∞
du e
−au
2 /2 =
2π
a
(12.16)
lorsque a est réel et strictement positif. Pour a complexe, a = |a| exp(iθ),o n
utilise un prolongement analytique
I(a)=
2π
a
e
−iθ/2